Question

(sen(5x)) × (sen (2x)) × dx

Answer 1

$∫ \sin(5x). \sin(2x)dx$

Utilizando a fórmula da transformação em produto temos.

$\sin(m). \sin(n) \\ = \frac{ \cos(m - n) + \cos(m + n) }{2}$

Daí

$\sin(5x) . \sin(2x) \\ = \frac{ \cos(5x - 2x) + \cos(5x + 2x)}{2}$

$\sin(5x). \cos(2x) = \frac{ \cos(3x) + \cos(7x) }{2}$

Substituindo na integral temos:

$∫ \sin(5x) . \sin(2x)dx \\ = ∫ \frac{ \cos(3x) + \cos(5x)}{2}dx$

Utilzando as propriedades da integral indefinida temos:

$\frac{1}{2} ∫ \cos(3x) dx + \frac{1}{2} ∫ \cos(7x)dx$

Calculando cada integral temos

$\frac{1}{2}. \frac{1}{3} \sin(3x) + \frac{1}{2} . \frac{1}{7} . \sin(7x) \\ = \frac{1}{6} \sin(3x) + \frac{1}{14} \sin(7x) + c$

$∫ \sin(5x). \sin(2x)dx.\\ = \frac{1}{6} \sin(3x)+ \frac{1}{14} \sin(7x) + c$