Question

Semelhança e triângulos retângulos

Calcule x nas questões acima :

gabaritos
a) 10
b) 8v2
c) 17
d) 2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marcos, como prometemos ver hoje as suas questões, então vamos resolvê-las:

a) O trapézio da letra "a" vamos denominar cada lado do seguinte modo: a base menor (que vale 15) vamos chamar de segmento AB; a base maior (que vale 39), vamos chamar de segmento DC. Com isso, ficamos com o segmento BC valendo 26 e o segmento AD valendo "x", que é o que vamos encontrar.
Note que se descermos a altura partindo do vértice B até encontrar o segmento DC, vamos marcar um ponto E. Assim, o segmento BE será a altura e formará um triângulo retângulo, cuja altura (segmento BE é igual a "x", pois é a mesma medida do segmento AD). Note que o segmento EC vai medir 24 (pois será igual à medida da base maior menos a base menor: 39-15 = 24). Assim, usando Pitágoras no triângulo BEC, teremos:

26² = x² + 24²
676 = x² + 576 ---- passando "576" para o 1º membro, teremos:
676 - 576 = x²
100 = x² --- ou, invertendo-se:
x² = 100
x = ±√(100) ------ como √(100) = 10, teremos;
x = ± 10 ----- como a medida "x" não é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

x = 10 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) No triângulo do item "b", vemos que se trata de um triângulo isósceles (tem dois lados iguais). Então vamos denominar cada vértice assim: no vértice de cima chamaremos de vértice A, no vértice do lado direito, chamaremos de vértice B e, finalmente, no vértice do lado esquerdo, chamaremos de vértice C.
Assim, teremos que a base será o segmento CB (que mede 8), enquanto os lados congruentes serão os lados AC e AB (medindo cada um 12). E, como "x" é a altura que parte do vértice A até encontrar o lado CB, então vamos chamar de D o encontro da altura "x" com o lado CB. Assim, a altura traçada forma com o lado CB dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa será um dos lados (que medem 12) e cujos catetos serão a própria altura (x) e um dos segmentos repartidos pela altura traçada (que vai medir 4, pois a base toda mede 8. E, como o triângulo é isósceles, então o segmento "x" dividiu a base em dois segmentos congruentes, valendo "4" cada um). Assim, se aplicarmos Pitágoras no triângulo ACD, teremos:

12² = x² + 4²
144 = x² + 16 ---- passando "16" para o 1º membro, teremos;
144 - 16 = x²
128 = x² --- vamos apenas inverter, ficando:
x² = 128
x = ± √(128) ---- note que 128 = 2⁷ = 2².2².2².2¹ = 2².2².2².2. Assim:
x = ± √(2².2².2².2) ---- note que os "2" que estiverem ao quadrado sairão de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

x = ± 2.2.2√(2)
x = ± 8√(2) ----- como a medida "x" não é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

x = 8√(2) <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Vamos parar por aqui, pois o espaço disponível não deverá ser suficiente para darmos as respostas dos itens "c" e "d". Então, por favor, coloque as questões "c" e "d" em outra mensagem. Depois que tiver feito isso, avise-nos pra que possamos continuar a resposta dos outros itens, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.