Question

semana 6
Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral definida dada a seguir:

integral com 0 subscrito com pi dividido por 4 sobrescrito fim do sobrescrito numerador s e n x sobre denominador c o s x fim da fração d x


0


l n pi sobre 4


1 meio


ln 2


menos l n numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Answer 1

A integral definida dada é: $\int^{\tt\frac{\pi}{4}}_{\tt0}\tt\frac{sen\,x}{cos\,x}\,dx=-\,\ell n(\frac{\sqrt{2}}{2})$ (alternativa e).

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$\displaystyle\int^{\tt\frac{\pi}{4}}_{\tt0}\tt\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\,dx$

Primeiro de tudo, calcule a integral indefinida dessa função (não é preciso contabilizar a constante). Por substituição, fazendo u = cos x e derivando-o, encontra-se exatamente:

$\tt\dfrac{du}{dx}=(cos\,x)'~\Leftrightarrow~du=-\,sen\,x\,dx~\Leftrightarrow~-du=sen\,x\,dx$

Portanto:

$\displaystyle\int\tt\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\,dx~\Leftrightarrow~\displaystyle\int\tt\!-\dfrac{1}{u}\,du~\Leftrightarrow~-\,\ell n(|u|)~\Leftrightarrow~-\,\ell n(|cos\,x|)$

Obs.: a integral do inverso de u é igual ao logaritmo de u.

Em consequência, para encontrar o resultado da integral definida aplique o Teorema Fundamental do Cálculo (em anexo):

$\displaystyle\int^{\tt\frac{\pi}{4}}_{\tt0}\tt\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\,dx=-~\ell n(|cos\,x|)\bigg|^{\frac{\pi}{4}}_{0}=-~\ell n\bigg(cos\,\frac{\pi}{4}\bigg)+\ell n(cos\,0)$

                     $\tt=~-\,\ell n\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+\ell n(1)$

                     $\tt=~-\,\ell n\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+0$

                     $=~\boxed{\tt\!-\,\ell n\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)}$

Nota: cos π/4 = cos 180º/4 = cos 45º = √2/2, cos 0 = 1 e ln(1) = 0.

Sendo assim, a alternativa e) é a resposta.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.