Question

sejam z1=3(cos 30 + i sen 30) e z2= 5(cos 45 + isen 45) qual e oproduto de z1 por z2? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Primeiramente, vamos enunciar uma propriedade. Sejam $z_1=|z_1| \,cis(\theta_1)$ e $z_2=|z_2| \,cis(\theta_2)$ dois complexos escritos na forma geométrica (isto é, $|z|$ representa o módulo do complexo, e $\theta$, o seu argumento). O produto desses números é dado por:

$z_1\cdot z_2=|z_1| \,cis(\theta_1)\cdot |z_2| \,cis(\theta_2)\\\\ z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\,cis(\theta_1)\cdot\,cis(\theta_2)\\\\ z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\,[(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1))\cdot(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))]\\\\ z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\,[\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)+i\cos(\theta_1)\sin(\theta_2)+i\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\\i^2\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)]$

$z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\,[(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\sin(\theta_1)\sin(\theta_2))+i(\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\\\cos(\theta_1)\sin(\theta_2))]\\\\ z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\,[(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]\\\\ z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\,cis(\theta_1+\theta_2)$

Ou seja, o produto de dois complexos é igual ao produto dos seus módulos multiplicado pelo cis da soma de seus argumentos.

Utilizando essa propriedade na questão proposta:

$\begin{matrix}z_1=3(\cos(30^o)+i\sin(30^o)&z_2=5(\cos(45^o)+i\sin(45^o)\\z_1=3\,cis(30^o)&z_2=5\,cis(45^o)\end{matrix}\\\\\\ z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\cdot cis(\theta_1+\theta_2)\\\\ z_1\cdot z_2=3\cdot5\cdot cis(30^o+45^o)\\\\ z_1\cdotz_2=15cis(75^o)\\\\ \boxed{z_1\cdot z_2=15(\cos(75^o)+i\sin(75^o))}$