Question

Sejam x, y ∈ R tais que y³ + yx² ≤ x³ + xy² .

Prove que y ≤ x.​

Answer 1

O enunciado nos informa que x e y são números reais que satisfazem a desigualdade:

$\sf y^3+yx^2\leq x^3+x\:\!y^2$

Partindo desta desigualdade, segue abaixo a prova de que y ≤ x:

$\sf\qquad\quad\ \:\! y^3+yx^2\leq x^3+x\:\!y^2\\\\ \iff\ \ \ y^3-x^3\leq xy^2-yx^2\\\\ \iff\ \ \ y^3-x^3\leq xy(y-x)\qquad (\:i\:)$

Relembrando que y³ – x³ = (y – x)(y² + yx + x²), e substituindo este resultado em ( i ), ficaremos com:

$\sf\qquad\quad \ \:\! (y-x)(y^2+y\:\!x+x^2)\leq x\:\!y(y-x)\\\\ \iff\ \ \ (y-x)(y^2+x\:\!y+x^2)-x\:\!y(y-x)\leq 0\\\\ \iff\ \ \ (y-x)\:\!\!\big[(y^2+x\:\!y+x^2)-x\:\!y\big]\leq 0\\\\ \iff\ \ \ (y-x)(x^2+y^2+x\:\!y-xy)\leq 0\\\\ \iff\ \ \ (y-x)(x^2+y^2)\leq 0\qquad (\:ii\:)$

Agora, lembremo-nos também que x² + y² ≥ 0, para todo x em ℝ. Com base nisto, o produto (y – x)(x² + y²) só será negativo ou nulo quando o multiplicando y – x no primeiro membro de ( ii ) assumir valores negativos ou for igual a 0 (zero). Melhor dizendo, (y – x)(x² + y²) ≤ 0 se, e só se, y – x ≤ 0, ou seja:

$\large\boxed{\sf y\leq x}$