Question

Sejam x,y e b reais positivos , b#1 . Sabendo que log x na base b = -2 e log y na base b =3 , calcule o valor dos seguintes logaritmos: a)log(x·y) na base b B) log(x/y) na base b C) log (X^3 · y^2) na base b D)log(y^2/ raiz quadrada de X) na base b

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dal, que a resolução também é simples. É como dissemos na sua mensagem anterior: depende apenas de conhecimento sobre a aplicação de propriedades logarítmicas.
Mas vamos fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Sejam "x" , "y" e "b" números reais poitivos, e b ≠ 1, e sabendo-se que:

logᵦ (x) = - 2      . (I)
e
logᵦ (y) = 3        . (II)

Então calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a)

logᵦ (x*y) ---- note que uma das propriedades logarítmicas é poder trnsformar o produto em soma. Então ficaremos assim:

logᵦ (x*y) = logᵦ (x) + logᵦ (y) --- substituindo-se logᵦ (x) por "-2" e logᵦ (y) por "3", teremos:

logᵦ (x) + logᵦ (y) = - 2 + 3 = 1 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b)

logᵦ (x/y) ---- veja: uma outra propriedade logarítmica é você poder transformar a divisão em subtração. Então, fazendo isso, teremos:

logᵦ (x/y) = logᵦ (x) - logᵦ (y) ---- fazendo-se as devidas substituições, teremos:

logᵦ (x) - logᵦ (y) = - 2 - 3 = - 5 <--- Esta é a resposta para o item "b".

c)

logᵦ (x³*y²) ---- transformando o produto em soma, teremos:
logᵦ (x³*y²) = logᵦ (x³) + logᵦ (y²) ---- agora vem uma outra propriedade, que é a de poder passar os respectivos expoentes multiplicando os seus logs. Assim, teremos:

logᵦ (x³) + logᵦ (y²) = 3logᵦ (x) + 2logᵦ (y) ----- fazendo as devidas substituições, teremos;

3logᵦ (x) + 2logᵦ (y) = 3*(-2) + 2*3 = -6 + 6 = 0 <--- Esta é a resposta do item "c".

d)

logᵦ (y²/√x) ---- vamos transformar a divisão em subtração, ficando:

logᵦ (y²/√x) = logᵦ (y²) - logᵦ (√x) ---- note que √x = x¹/². Assim, ficamos:
logᵦ (y²) - logᵦ (x¹/²) ----- passando os respectivos expoentes multiplicando os seus logs, teremos:

2logᵦ (y) - (1/2)logᵦ (x) ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
2*3 - (1/2)*(-2) =  6 - 1*(-2)/2 =  6 + 2/2 = 6 + 1 = 7 <--- Esta é a resposta para o item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.