Question

Sejam x=
$\frac{(2 + \sqrt{3} ) {}^{1997} + (2 - \sqrt{3} ) {}^{1997} }{2}$
e y=
$\frac{(2 + \sqrt{3}) {}^{1997} - (2 - \sqrt{3} ) {}^{1997} }{ \sqrt{3} }$
qual o valor de
${4x}^{2} - {3y}^{2}$
?

Answer 1

Para facilitar os cálculos, considere que:

a = 2 + √3 e b = 2 - √3

Assim, temos que:

$x=\frac{a^{1997}+b^{1997}}{2}$ e $y=\frac{a^{1997}-b^{1997}}{\sqrt{3}}$.

Substituindo os valores de x e y em 4x² - 3y², obtemos:

$4(\frac{a^{1997}+b^{1997}}{2})^2 - 3(\frac{a^{1997}-b^{1997}}{\sqrt{3}})^2 =$

Daí,

(a¹⁹⁹⁷ + b¹⁹⁹⁷)² - (a¹⁹⁹⁷ - b¹⁹⁹⁷)² =

Lembrando que:

(x + y)² = x² - 2xy + y² e (x - y)² = x² - 2xy + y².

Logo,

(a¹⁹⁹⁷)² + 2.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ + (b¹⁹⁹⁷)² - ((a¹⁹⁹⁷)² - 2.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ + (b¹⁹⁹⁷)²) =

(a¹⁹⁹⁷)² + 2.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ + (b¹⁹⁹⁷)² - (a¹⁹⁹⁷)² + 2.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ - (b¹⁹⁹⁷)² =

Simplificando:

2.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ + 2.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ =

4.a¹⁹⁹⁷.b¹⁹⁹⁷ =

Substituindo os valores de a e b:

4.(2 +  √3)¹⁹⁹⁷.(2 - √3)¹⁹⁹⁷ =

Vale lembrar da seguinte propriedade de potência:

(a.b)ˣ = aˣ.bˣ

Assim,

4.((2 + √3).(2 - √3))¹⁹⁹⁷ =

4.1¹⁹⁹⁷ =

4

Portanto, o valor de 4x² - 3y² é 4.