Question

Sejam x e y numeros reais, com 0 < x < pi/2 e 3pi/2 < y < 2pi. Sabendo que sen x = 0,6 e cos y=5/3, obtenha o valor de cos (x+y)

Answer 1

0 < x < π / 2
(x no 1º quadrante → 1 > sen(x) > 0 e 1 > cos(x) > 0)

3 * π / 2 < y < 2 * π 
(y no 4º quadrante → 0 > sen(y) > -1 e 1 > cos(y) > 0)

...

Relação fundamental : sen(θ)² + cos(θ)² = 1

sen(x) = 0,6
sen(x) = 6/10 
sen(x) = 3/5

sen²(x) + cos²(x) = 1 ⇒ Sendo : sen(x) = 3/5 :

(3/5)² + cos²(x) = 1

9/25 + cos²(x) = 1

cos²(x) = 1 - 9/25 ⇒ Igualando o denominador :

cos²(x) = (25 * 1 - 9) / 25

cos²(x) = 16 / 25

cos(x) = √(16 / 25)

cos(x) = √16 / √25

cos(x) = +- 4 / +- 5

Como visto, para x, 1 > cos(x) > 0, então descartamos combinações de raízes que resultem no cos(x) negativo :

cos(x) = 4/5...

...

cos(y) = 5/13 (cos(y) > 0). Da relação fundamental :

sen(y)² + cos(y)² = 1

sen(y)² + (5/13)² = 1

sen(y)² + 25/169 = 1

sen(y)² = 1 - 25/169 ⇒ Igualando o denominador :

sen(y)² = (169 * 1 - 25) / 169

sen(y)² = 144 / 169

sen(y) = √(144 / 169)

sen(y) = √144 / √169

Como visto, para y, 0 > sen(y) > -1, então descartamos combinações de raízes que resultem no sen(y) positivo :

sen(y) = - 12/13

cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sen(x) * sen(y)

Sendo ⇒
sen(x) = 3/5;
cos(x) = 4/5;
sen(y) = -12/13;
cos(y) = 5/13...

cos(x + y) = 4/5 * 5/13 - 3/5 * (-12/13)

cos(x + y) = 20 / 65 + 36 / 65 

cos(x + y) = (20 + 36) / 65

cos(x + y) = 56 / 65