Question

Sejam X e Y números naturais maiores do que zero, sendo o primeiro divisível por 12 e o segundo divisível por 15. Sabendo-se que X+Y é divisível por 12, o menor valor de Y é A) 75. B) 45. C) 60. D) 30. E)

Answer 1

Para 12 dividir $x+y$, esta soma deve poder ser escrita como $12(x' + y')$, com $x' + y'$ inteiro. Como $x$ é divisível por 12, este pode ser escrito como $12x'$, com $x'$ inteiro. Portanto, se $x' + y'$ é inteiro e $x'$ é inteiro, logo $y'$ também é inteiro. Como $y = 12y'$, e $y'$ é inteiro, então $y$ é divisível por 12. Logo, se $y$ é divisível por 12 e por 15, e desejamos seu valor mínimo, basta calcular o mínimo múltiplo comum destes 2 valores:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\\15 = 3 \cdot 5$

Ambos têm o 3 em comum, portanto falta, ao 12, o termo 5.
$12 \cdot 5 = 60\\mmc(12, 15) = 60$

O menor valor de y é c) 60