Question

sejam w e z dois números reais tais que a soma é 21 e o produto é -7.Calcule o valor da expressão 1/w² + 1/z²
Por favor me ajudem

Answer 1

Estamos procurando dois números reais $w$ e $z$, tais que

$\left\{ \begin{array}{ccr} w+z&=&21\\ wz&=&-7 \end{array} \right.$


Dividindo a primeira equação pela segunda, membro a membro, temos

$\dfrac{w+z}{wz}=\dfrac{21}{-7}\\ \\ \\ \dfrac{\diagup\!\!\!\! w}{\diagup\!\!\!\! wz}+\dfrac{\diagup\!\!\!\! z}{w\diagup\!\!\!\! z}=-3\\ \\ \\ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{w}=-3\\ \\ \\ \dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{z}=-3$


Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade acima, temos

$\left(\dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{z} \right )^{2}=\left(-3 \right )^{2}$


Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos no lado esquerdo (produtos notáveis)

$\left(\dfrac{1}{w} \right )^{2}+2\cdot \dfrac{1}{w}\cdot \dfrac{1}{z}+\left(\dfrac{1}{z} \right )^{2}=9\\ \\ \\ \dfrac{1}{w^{2}}+\dfrac{2}{wz}+\dfrac{1}{z^{2}}=9\\ \\ \\ \dfrac{1}{w^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}=9-\dfrac{2}{wz}$


Como $wz=-7$, podemos substituir no lado direito da igualdade acima, e chegamos a

$\dfrac{1}{w^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}=9-\dfrac{2}{\left(-7 \right )}\\ \\ \\ \dfrac{1}{w^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}=9+\dfrac{2}{7}\\ \\ \\ \dfrac{1}{w^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}=\dfrac{63+2}{7}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} \dfrac{1}{w^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}=\dfrac{65}{7} \end{array} }$