Question

Sejam U = {(x, y, z) ∈ $R^{3}$ | 2x + y = 0} e W = {(x, y, z) ∈ $R^{3}$| z = 3x − y}. Ache os geradores
de U + W. Esta soma é direta? (justifique)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

{2x+y = 0

{z=3x-y

2x=-y. Logo y = -2x

z=3x+2x. Logo z = 5x, a solução do sistema é (x, -2x, 5x) = x(1, -2, 5). Logo podemos concluir que (1, -2, 5) é base de U ∩ W.  

Definição de soma direta.

Diz-se que o espaço vetorial V é a soma direta de seus subespaços U e W e anota-se V = U + W se todo vetor v ε V pode ser escrito de uma e somente uma maneira como V = U+W onde u ε U e w ε W. Assim o espaço vetorial V é a soma direta de seus subespaços U e W se, e somente se, (i) V = U+W e (ii) U∩W={0}.

Como vc pode perceber essa soma não é direta, pois a solução para o sistema não é somente a exigida que é x=y=z=0, conforme a definição. Existem outras centenas de soluções, basta atribuir um valor diferente para x.

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2x+y = 0. Logo y = -2x e assim U = (x, -2x, z). Diante disso podemos concluir que U possui dimensão 2, pois o número de variáveis livres sinaliza a dimensão do subespaço. Uma base para U é {(1, -2, 1) e (-1, 2, 1).

z= 3x-y. Logo W = (x, y, 3x-y). Diante disso podemos concluir que W possui dimensão 2, pois o número de variáveis livres sinaliza a dimensão do subespaço. Uma base para W é {(1, 1, 2) e (-1, 0, -3)

Para achar uma base para o subespaço U + W tem que agir assim. Monta uma matriz cujas linhas sejam os vetores das bases de U e W e depois escalona.

|1.............-2............1|

|-1............2.............1|

|1.............1..............2| ....~

|-1...........0.............-3|

|1.............-2.............0|

|0............ 0..............2|....~

|0.............-3............-1|

|0............-2.............-2|

|1.............-2.............0|

|0............-2.............-2|....~

|0.............-3............-1|

|0............ 0..............2|

|1.............-2.............0|

|0............-2.............-2|....~

|0.............0.............-8|

|0............ 0..............2|

|1.............-2.............0|

|0............-2.............-2|....~

|0.............0.............-8|

|0............ 0..............0|

U + W  tem dimensão 3 pois existem apenas 3 linhas não nulas. A quantidade de linhas não nulas sinaliza a dimensão dessa soma, que, como já vimos não é direta. Uma base para esse subespaço é {(1, -2, 0), (0, -2, -2), (0, 0, 8)}, que também pode ser considerado um conjunto de geradores de U + W.