Question

Sejam sen $\frac{a}{3} = a , 0 \ \textless \ \frac{ \pi }{2} e CB$ um segmento de medida x, conforme a figura abaixo :
O valor de x é :

Answer 1

Olá Sara.


Irei anexar uma imagem para elucidar melhor a resposta.


Afim de facilitar o calculo, vamos dar nomes a alguns segmentos que também já estarão identificados na imagem abaixo.

Considerando o triângulo retângulo ABC, chamaremos a hipotenusa de y.

No triângulo retângulo abaixo, temos que 2 de seus vértices já estão nomeados como C e B, o vértice não nomeado que está entre o segmento BA, chamaremos de D.


Olhando para o triângulo retângulo ABC, podemos ver uma relação entre o x e a hipotenusa y, através do seno do ângulo $\mathsf{C\^AB}$.


$\mathsf{sen\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)=\dfrac{x}{y}}\qquad e\qquad\mathsf{sen\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)=a}\\\\\\\mathsf{\dfrac{x}{y}=a}\\\\\\\mathsf{y=\dfrac{x}{a}~(i)}$


Temos então a primeira equação.

Outra informação importante, é considerar que o triângulo ACD é isósceles, pelo fato de ter 2 ângulos opostos congruentes. Portanto, (k = b).

Através da lei dos cossenos, podemos criar uma nova relação no triângulo isósceles ACD.


$\boxed{\boxed{\mathsf{a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot cos(a)}}}\\\\\\\\\mathsf{b^2=k^2+y^2-2\cdot k\cdot y\cdot cos\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)}\\\\\mathsf{k=b}\\\\\mathsf{\diagdown\!\!\!b^2=\diagdown\!\!\!\!b^2+y^2-2\cdot b\cdot y\cdot cos\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)}\\\\\mathsf{0=y^2-2\cdot b\cdot y\cdot b\cdot cos\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)~(ii)}$


Precisamos encontrar o valor de $\mathsf{cos\Big(\dfrac{\alpha}{3}~\Big)}$ .Para isso, iremos precisar outra relação trigonométrica.


$\boxed{\boxed{\mathsf{sen^2\beta+cos^2~\beta=1}}}\\\\\\\\\mathsf{sen^2\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)+cos^2\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)=1}\\\\\mathsf{a^2+cos^2\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)=1}\\\\\mathsf{cos^2\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)=1-a^2}\\\\\mathsf{cos\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)=\sqrt{1-a^2}~(iii)}$


Com essas 3 equações já é possível encontrar o valor de x:


$\mathsf{0=y^2-2\cdotb\cdot y\cdot b\cdot cos\Big(\dfrac{\alpha}{3}\Big)~(ii)}\\\\\mathsf{0=y^2-2\cdot y\cdot b\cdot\sqrt{1-a^2}}\\\\\\\mathsf{(i)=y=\dfrac{x}{a}}\\\\\\\mathsf{0=\Big(\dfrac{x}{a}\Big)^2-2\cdot\dfrac{x}{a}\cdot b\cdot\sqrt{1-a^2}}\\\\\mathsf{-\dfrac{x^2}{a^2}=-2\cdot\dfrac{x}{a}\cdot b\cdot\sqrt{1-a^2}~\cdot(-1)}\\\\\mathsf{\dfrac{\diagdown\!\!\!\!x^2}{\diagup\!\!\!\!a^2}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\!a}{\diagdown\!\!\!\!x}=2\sqrt{1-a^2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x=2\cdot a\cdot b\cdot\sqrt{1-a^2}}}$


Resposta (d)


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