Question

sejam R1 e R2 as raízes da equação do segundo grau x²-131x -27=0. Entre as opções a seguir, a equação do segundo grau cujas raízes são $\frac{1}{R1}$ e $\frac{1}{R2}$ é?

a)27x²+131x+1=0
b)x²-131x-27=0
c)27x²+131x-1=0
d)27x²+131x+1=0
e)x²-27x+131=0

Sei que alternativa correta é a letra "c", mas preciso de uma justificativa e/ou resolução.
por favor, obrigada.

Answer 1

Olá Natty.


Organizando e achando as raízes da equação:


$\mathsf{x^2-131x -27=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\mathsf{\Delta=(-131)^2-4\cdot1\cdot(-27)}\\\mathsf{\Delta=17.161+108}\\\mathsf{\Delta=17.269}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdota}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{-(-131)+\sqrt{17.269}}{2\cdot1}\qquad\qquad\qquad x^-=\dfrac{-(-131)-\sqrt{17.269}}{2\cdot1}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{131+\sqrt{17.269}}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad~x^-=\dfrac{131-\sqrt{17.269}}{2}}$


Achado as duas raízes precisamos calcular seus inversos:


$\mathsf{r_1=\dfrac{1}{\dfrac{131+\sqrt{17.269}}{2}}\qquad\qquad\qquad\qquad r_2=\dfrac{1}{\dfrac{131-\sqrt{17.269}}{2}}}\\\\\\\\\mathsf{r_1=1\cdot \dfrac{2}{131+\sqrt{17.269}}\qquad\qquad\qquad~~r_2=1\cdot\dfrac{2}{131-\sqrt{17.269}}}$


Sabendo que a forma fatorada de uma equação do segundo grau é:


$\mathsf{a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)=ax^2+bx+c~~~~}onde~~~~\mathsf{a\neq0}$


Aplicando as raízes na sua forma fatorada:


$\mathsf{a\cdot\Big(x-\dfrac{2}{131+\sqrt{17.269}}\Big)\cdot\Big(x-\dfrac{2}{131-\sqrt{17.269}}\Big)}\\\\\\\mathsf{a\cdot\Big(x^2-\dfrac{2x}{131-\sqrt{17.269}}-\dfrac{2x}{131+\sqrt{17.269}}+\dfrac{4}{17.161-17.269}\Big)}\\\\\\\mathsf{a\cdot\Big(x^2-\dfrac{2x\cdot (131+\sqrt{17.269})-2x\cdot(131-\sqrt{17.269})+4}{17.161-17.269}\Big)}\\\\\\\mathsf{a\cdot\Big(\dfrac{-108x^2-2x\cdot(131+\sqrt{17.269}+[131-\sqrt{17.269}])+4]}{-108}\Big)}$


$\mathsf{a\cdot\Big(\dfrac{-108x^2-2x\cdot(262)+4}{-108}\Big)}\\\\\\\\\mathsf{a\cdot\Big(\dfrac{-108x^2-524x+4}{-108}\div\dfrac{4}{4}\Big)}\\\\\\\mathsf{a\cdot\Big(\dfrac{-27x^2-131x+1}{-108}\Big)}$


A partir daqui, precisamos olhara as alternativas e checar a qual melhor se encaixa para o valor do coeficiente a.

Vendo que nenhuma das alternativas possui denominador, o coeficiente a deve ser igual a 108:


$\mathsf{\mathsf{108\cdot\Big(\dfrac{-27x^2-131x+1}{-108}\Big)}}\\\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{-27x^2-131+1}{-1}\Big)}}}\\\\\\\boxed{\mathsf{27x^2+131-1=0}}$



Alternativa (c)


Dúvidas? comente.

Answer 2

Tendo a equação:

$\mathsf{x^2-131x-27=0}$

Sendo que suas raízes são R1 e R2, pelas relações de Girard (aquela "soma e produto"), sabemos que:

$\boxed{\maths{R_1+R_2=131}}\\\\\boxed{\mathsf{R_1\cdot R_2=-27}}$

Então, para achar uma nova equação que tenha como raízes:

$\mathsf{\dfrac{1}{R_1}~\mbox{e}~\dfrac{1}{R_2}}$

Sabemos que:

$\mathsf{x^2-(soma)x+(produto)=0}$

Dessa forma, vem:

$\mathsf{x^2-\Big(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\Big)x+\Big(\dfrac{1}{R_1}\cdot\dfrac{1}{R_2}\Big)=0}$

$\mathsf{x^2-\Big(\dfrac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}\Big)x+\Big(\dfrac{1}{R_1\cdot R_2}\Big)=0}$

Substituindo pelas relações que achamos anteriormente:

$\mathsf{x^2-\Big(\dfrac{131}{-27}\Big)x+\Big(\dfrac{1}{-27}\Big)=0}$

Multiplicando toda a equação por 27:

$\boxed{\mathsf{27x^2+131x-1}}$

Alternativa C.