Question

Sejam r a reta paralela ao vetor u→=(1,1) que passa pelo ponto M=(3,2), e CD a projeção ortogonal do segmento AB sobre r. Sabendo que M é o ponto médio de AB, C=(2,1) e A pertence à reta l={(−t+1,2t);t∈R}, então:
a.
A=(−1,4)
, D=(4,3) e d(B,r)=32–√
.
b.
A=(−3,8)
, D=(4,3) e d(B,r)=52–√
.
c.
A=(−3,8)
, D=(8,5) e d(B,r)=52–√
.
d.
A=(7,0)
, D=(8,5) e d(B,r)=22–√
.
e.
Nenhuma das outras respostas

Answer 1

Resposta: e. Nenhuma das anteriores

Explicação passo-a-passo:

O vetor (1,1) é o vetor que parte da origem (0,0) indo até o ponto (1,1), ou seja, possuindo um inclinação de m = 1

m = Δy / Δx

m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

m = (1 - 0) / (1 - 0)

m = 1

Sabemos portanto que a inclinação da reta r é também de 1. Sabemos que r passa pelo ponto M = (3,2), portanto

m = Δy / Δx

1 = (2 - y0) / (3 - x0)

3 - x0 = 2 - y0

r: y = x - 1

Temos também que a reta l tem as suas coordenadas em x regidas pela equação -t + 1 e suas coordenadas em y regidas por 2t, portanto:

x = - t + 1

t = 1 - x

y = 2t

t = y/2

t = t

1 - x = y/2

l: y = 2 - 2x

A projeção do vetor AB sobre a reta r é encontrada ao traçarmos duas retas (g e h) perpendiculares à r que incidam sobre os pontos A e B. Neste caso, sendo C a projeção de A, temos que a reta g passando pelo ponto C terá o ponto intersecção com a reta l sendo respectivamente A. Qual é a equação de g? Sendo ela perpendicular à r temos que seu m = -1. Portanto:

m = Δy / Δx

-1 = (1 - y0) / (2 - x0)

-2 + x0 = 1 - y0

g: y = 3 - x

g = l

3 - x = 2  - 2x

x = -1

y = 3 - x

y = 3 + 1

y = 4

A = (-1, 4)

Conhecendo A e sabendo que M é o seu ponto médio, temos que B terá a mesma distância que A tem para M.

Dx = 3 - (-1)  = 4

Dy = 2 - 4 = -2

B = (3 + 4, 2 - 2)

B = (7 , 0)

Conhecendo B podemos agora encontrar D como sendo o ponto de intersecção da reta h, que passa por B, com a reta r

m = Δy / Δx

-1 = (0 - y0) / (7 - x0)

-7 + x0 = - y0

h: y = 7 - x

h = r

7 - x = x - 1

2x = 8

x = 4

y = 7 - x

y = 7 - 4

y = 3

D = (4, 3)

Por último temos que descobrir a distância de B até r. Fazemos isto encontrando a reta f perpendicular a r que passa pelo ponto B, encontrando o ponto de intersecção E entre f e r e calculando a distância entre estes pontos. No entanto para encontrar D já fizemos isto e portanto temos que

f = h

E = D

e portanto D(B,r) = D(B,D) que é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos catetos (YB - YD) e (XB - XD):

D(B,r)² = (YB - YD)² + (XB - XD)²

D(B,r)² = (0 - 3)² + (7 - 4)²

D(B,r)² = 9 + 9

D(B,r)² = 18

D(B,r) = √18

D(B,r) = 3√2

e.  Nenhuma das outras respostas

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( ͡° ͜ʖ ͡°) Bons estudos.