Question

Sejam p(x) e ????(x) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por ????(x), obtêm-se quociente e resto iguais a x2+1. Nessas condições, é correto afirmar que a) o grau de p(x) é menor que 5. b) o grau de ????(x) é menor que 3. c) p(x) tem raízes complexas. d) ????(x) tem raízes reais

#UNICAMP

Answer 1

Alternativa (C) é a correta, pois p(x) tem raízes complexas.

Pelo enunciado do problema temos que p(x) e q(x) são polinômios com coeficientes reais.

Ao dividir p(x) por q(x) temos resto igual a x² + 1

Então pela propriedades da divisão temos que:

p(x) = q(x) . (x²+1) + (x² + 1)

Devemos aplicar a fatoração dos elementos:

p(x) = (x² + 1) .  (q(X) +1)

Olhando a expressão acima podemos notar que as raízes da equação podem ser:

(x² +1) = 0   ou q(x) +1 = 0

Da primeira expressão temos uma raiz de x igual a:

x = i ou x = -i

Então as raízes de p(x) são complexas.