Question

Sejam P(2,1,-,1) e Q(0-1,0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 9, no caso em que A(0,3,0), B(6,3,,3).

Answer 1

Dados dois pontos de uma reta P e Q, podemos escrever que o ponto C (x, y, z) pertence a ela se:

x = xP + (xQ - xP)t

y = yP + (yQ - yP)t

z = zP + (zQ - zP)t

Substituindo os valores:

x = 2 - 2t

y = 1 - 2t

z = -1 + t

A área de um triângulo, dados seus vértices, pode ser calculada através da metade do determinante da matriz W, sendo W dada por:

$W = \left[\begin{array}{ccc}xA&yA&zA\\xB&yB&zB\\xC&yC&zC\end{array}\right]$

A área do triângulo será:

$A = \dfrac{1}{2} \cdot det\left[\begin{array}{ccc}0&3&0\\6&3&3\\2-2t&1-2t&t-1\end{array}\right] \\ \\ A = 0,5 \cdot [9(2-2t) - 18(t-1)]\\ \\ A = 0,5 \cdot [18-18t - 18t + 18]\\ \\ A = 0,5 \cdot [36 - 36t] \\ \\ A = 18(1-t)$

Como a área deve ser igual a 9:

9 = 18(1 - t)

0,5 = 1 - t

t = 0,5

Portanto, o ponto C será:

x = 2 - 2*0,5; y = 1 - 2*0,5; z = -1 + 0,5

x = 1; y = 0; z = -0,5

C = (1, 0, -0,5)

Answer 2

PQ = Q - P = (-2, -2, 1)

Equação PQ: $\left \{ {{x=-2\lambda} \atop {y=-1-2\lambda}} \atop z = \lambda \right$

Encontrar vetores AB e AC (B - A, C - A).

AB = (6, 0, 3) e AC (-2λ, -4-2λ, λ).

Produto vetorial:

AB ∧ AC = |(12 + 6λ)i - 12λj + (-24 - 12λ)k| = 9 . 2

81λ² + 180λ + 99 = 0

$\lambda=\frac{-180\pm\sqrt{180^2-4.81.99} }{2.81}$

$\lambda=\frac{-180\pm\sqrt{32400-32076} }{162}$

$\lambda=\frac{-180\pm\sqrt{324} }{162}$

$\lambda=\frac{-180\pm18}{162}$

$\lambda_{1}=\frac{-180+18}{162}= -1$

$\lambda_{2}=\frac{-180-18}{162}=-\frac{11}{9}$

Então:

Para λ = -1

$\left \{ {{x=-2(-1)} \atop {y=-1-2(-1)}} \atop z=-1 \right.$

$\left \{ {{x=2} \atop {y=1}}\atop z= -1 \right.$

Para λ = - 11/9

$\left \{ {{x=\frac{22}{9} } \atop {y=\frac{13}{9} }}\atop z =-\frac{11}{9} \right.$

Resultado:

C' = (2, 1, -1) e C'' = (22/9, 13/9, - 11/9)