Sejam os vetores u1 = (1,0,0), u2= (1,1,0), u3= (1,1,1), u4( -1,0,1), u5(0,0,0). Classifique justificando as afirmações abaixo: a) {u1,u2,u3,u4} é um conjunto LI? b) {u1,u2,u3} é um conjunto LI? c) {u1,u2,u5} é um conjunto LI?
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Vejamos:
Um conjunto de vetores {u1, u2, u3, ...., un} é LI, se existir um conjunto de reais {c1, c2, c3, ..., cm}, de tal maneira que
c1.u1 + c2.u2 + c3.u3 + ... + cm.un = 0, ou seja, se e somente si,
c1 = c2 = c3 = ... = cm = 0
Caso contrário, o conjunto de vetores será LD.
Depois dos esclarecimentos, vamos a cada item.
a)
c1.u1 + c2.u2 + c3.u3 + c4.u4 = 0
| 1 | | 1 | | 1 | | -1 | | 0 |
c1. | 0 | + c2. | 1 | + c3. | 1 | + c4. | 0 | = | 0 |
| 0 | | 0 | | 1 | | 0 | | 0 |
| c1 + c2 + c3 - c4 | | 0 |
= | 0 + c2 + c3 + 0 | = | 0 |
| 0 + 0 + c3 + 0 | | 0 |
Assim
c1 + c2 + c3 - c4 = 0 (l)
c2 + c3 = 0 (ll)
c3 = 0 (lll)
Substituindo (lll) em (ll), teremos
c2 + 0 = 0 => c2 = 0 (lV)
Substituindo (lll) e (lV) em (l), vem que
c1 + 0 + 0 - c4 = 0 => c1 - c4 = 0 => c1 = c4
Logo, o conjunto de vetores e LD, pois a partir de c1 = c2 encontramos infinitas soluções diferentes da trivial.
b)
c1.u1 + c2.u2 + c3.u3 = 0
| 1 | | 1 | | 1 | | 0 |
c1.| 0 | + c2.| 1 | + | 1 | = | 0 |
| 0 | | 0 | | 1 | | 0 |
| c1 + c2 + c3 | | 0 |
| 0 + c2 + c3 | = | 0 |
| 0 + 0 + c3 | | 0 |
Assim
c1 + c2 + c3 = 0 (l)
c2 + c3 = 0 (ll)
c3 = 0 (lll)
Substituindo (lll) em (ll), temos
c2 + 0 = 0 => c2 = 0 (lV)
Substituindo (lll) e (lV) em (l), temos
c1 + 0 + 0 = 0 => c1 = 0
Portanto, c1 = c2 = c3 = 0, logo o conjunto de vetores e LI
c)
c1.u1 + c2.u2 + c5.u5 = 0
| 1 | | 1 | | 0 | | 0 |
c1.| 0 | + c2.| 1 | + c5.| 0 | = | 0 |
| 0 | | 0 | | 0 | | 0 |
c1 + c2 + 0 = 0 (l)
0 + c2 + 0 = 0 (ll)
0 + 0 + 0 = 0 (lll)
De (l) temos que c2 = 0 (lV)
Substituindo (lV) em (l), temos
c1 + 0 = 0 => c1 = 0
Assim, para c5 = 0 o conjunto será LI