Question

Sejam os vetores u e v, mostre que o vetor projeção de u em v, denotado por P, é dado por P=(u.v/v.v).v?

Answer 1

O vetor projeção de u em v é (u.v/v.v).v.

Sendo θ o ângulo entre os vetores u e v, o cosseno deste ângulo pode ser calculado em função de u e v (os símbolos '.' e '*' significam produto escalar e multiplicação, respectivamente):

cos θ = u.v/|u|*|v|

A projeção escalar do vetor u sobre o vetor v (u1) é calculada por:

u1 = |u|*cosθ

Substituindo o valor, temos:

u1 = |u|*(u.v/|u|*|v|) = u.v/|v|

A projeção vetorial é a projeção escalar de u na direção de v, ou seja, temos que considerar o vetor unitário v' que é calculador por v/|v|, assim temos que a projeção vetorial de u sobre v é:

û = u1*v' = u.v/|v| * v/|v|

û = (u.v/|v|²).v

û = (u.v/v.v).v