Question

Sejam os vetores a=1,0,3 e b=5,1,3 , determine o produto vetorial e a área do paralelogramo em m2

Answer 1

Dados os vetores $\mathsf{\overset{\to}{a}=(1,\,0,\,3)}$ e $\mathsf{\overset{\to}{b}=(5,\,1,\,3),}$ determinar

     •  O produto vetorial de $\mathsf{\overset{\to}{a}}$ por $\mathsf{\overset{\to}{b}:}$

        $\mathsf{\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}=(1,\,0,\,3)\times (5,\,1,\,3)}$


     Podemos calcular esse produto vetorial por um determinante simbólico:

        $\mathsf{\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}}=\begin{vmatrix}\mathsf{\overset{\to}{i}}&\mathsf{\overset{\to}{j}}& \mathsf{\overset{\to}{k}}\\ \mathsf{1}&\mathsf{0}&\mathsf{3}\\ \mathsf{5}&\mathsf{1}&\mathsf{3}\end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{lcrcrcr}\mathsf{\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}=}&&\mathsf{0\overset{\to}i}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{15\overset{\to}{j}}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{1\overset{\to}{k}}\\&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{0\overset{\to}{k}}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3\overset{\to}{i}}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3\overset{\to}{j}} \end{array}\\\\\\ \mathsf{\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}=(0-3)\overset{\to}{i}+(15-3)\overset{\to}{j}+(1-0)\overset{\to}{k}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}=-3\overset{\to}{i}+12\overset{\to}{j}+1\overset{\to}{k}}$

        $\mathsf{\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}=(-3,\,12,\,1)}$        ✔


     •  A área do paralelogramo formado pelos vetores $\mathsf{\overset{\to}{a}}$ e $\mathsf{\overset{\to}{b}:}$

        A área do paralelogramo é numericamente igual ao módulo do produto vetorial, que é

        $\mathsf{A=\big\|\overset{\to}{a}\times \overset{\to}{b}\big\|}\\\\ \mathsf{A=\|(-3,\,12,\,1)\|}\\\\ \mathsf{A=\sqrt{(-3)^2+12^2+1^2}}\\\\ \mathsf{A=\sqrt{9+144+1}}$

        $\mathsf{A=\sqrt{154}~u.a.}$       ✔


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)