Question

Sejam os pontos P (1, -1, 2), Q (2,0,-1) e R (0, 2, 1).

a) Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P, Q e R.

b) Encontre um vetor unitátio perpendicular ao plano PQR

Answer 1

a)

Primeiramente para determinar a área do triangulo precisamos dos vetores PQ e PR:

$u=PQ \\ \\ u=(1,1,-3) \\ \\ \vdots \\ \\ v=PR \\ \\ v=(-1,3,-1)$

A fórmula para o cálculo da área de um triangulo no espaço tridimensional é:

$A=\displaystyle \frac{||u \times v||}{2}$

A solução do numerador será:

$||u \times v||=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&-3\\-1&3&-1\end{array}\right] \\ \\ \\ || u \times v|| = 8i+4j+4k \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{96}$

Portanto, a área do triangulo será:

$A=\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{2}$

b)

A equação vetorial do plano PQR é:

$\pi: \, x=(1,-1,2)+ \lambda(1,1,-3)+ \mu(-1,3,-1)$

Sua equação geral é dada por:

$\pi: \, \left[\begin{array}{ccc}x-1&y+1&z-2\\1&1&-3\\-1&3&-1\end{array}\right] \\ \\ \\ \pi: \, 8x+4y+4z-12=0$

Seu vetor normal é:

$n=(8,4,4)$

Com isso, já temos um vetor perpendicular ao plano, agora só temos que transformá-lo em um vetor unitário, e para isso, só temos que dividir cada termo por seu módulo que já sabemos o valor, então o vetor unitário perpendicular ao plano é:

$w=(\displaystyle \frac{8}{\sqrt{96}},\displaystyle \frac{4}{\sqrt{96}},\displaystyle \frac{4}{\sqrt{96}})$