Question

Sejam os pontos A(2,5), B(10,-1) e C(9,-2).
a) Calcule o perímetro do triangulo ABC.
b) Mostre que ABC é um triângulo retângulo.

Answer 1

A resolução está em anexo espero que te ajude :)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Motaj, que é simples.

Faremos o seguinte: calcularemos a distância (d) entre os pontos AB, AC e BC. Com isso, encontraremos as medidas de cada lado.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Distância (d) do ponto A(2; 5) ao ponto B(10; -1). Assim, teremos:

d² = (10-2)² + (-1-5)²
d² = (8)² + (-6)²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = +-√(100) ----- como √(100) = 10, teremos:
d = +- 10 ----- mas como a medida de um lado não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 10 u.m. <---- Esta é a medida do lado AB.(u.m. = unidades de medida).


ii) Distância (d) do ponto A(2; 5) ao ponto C(9; -2). Assim:

d² = (9-2)² + (-2-5)²
d² = (7)² + (-7)²
d² = 49 + 49
d² = 98
d = +-√(98) ---- veja que 98 = 7².2 . Assim:
d = +-√(7².2) ---- note que o "7" sai de dentro da raiz, por estar ao quadrado. Logo:

d = +-7√(2) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:

d = 7√(2) u.m. <---- Esta é a medida do lado AC.


iii) Distância (d) do ponto B(10; -1) ao ponto C(9; -2). Assim:

d² = (9-10)² + (-2-(-1))²
d² = (-1)² + (-2+1)²
d² = (-1)² + (-1)²
d² = 1 + 1
d² = 2
d = +-√(2) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:

d = √(2) u.m. <--- Esta é a medida do lado BC.


iv) Bem, como já temos a medida dos três lados do triângulo ABC, vamos, agora, calcular o seu perímetro (P), que é a soma de todos os seus lados. Assim:

P = 10 + 7√(2) + √(2) ------ como 7√(2)+√(2) = 8√(2), teremos:
P = 10 + 8√(2) ----- ou, o que é a mesma coisa:
P = (10 + 8√2) u.m.  <---- Esta é a medida do perímetro do triângulo ABC.

Agora note: se você quiser (mas só se quiser mesmo), poderá colocar "2" em evidência no perímetro encontrado aí em cima, ficando o perímetro apresentado da seguinte forma:

P = 2*(5 + 4√2) u.m. <--- Esta seria outra forma (alternativa) de apresentar a medida do perímetro do triângulo ABC.


v) Agora vamos demonstrar que esse triângulo ABC é retângulo.

Para isto, basta que provemos que a hipotenusa (que é o lado maior e que mede 10 u.m.) ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado (7√2 u.m. e √2 u.m.). Assim, faremos:

10² = [7√(2)]² + [√(2)]² ----- desenvolvendo, ficaremos com:
100 = 49*2 + 2
100 = 98 + 2
100 = 100 <---- Veja: está provado que o triângulo é retângulo realmente.


Assim, como você viu, demos a medida do perímetro do triângulo ABC e, depois, provamos que o triângulo ABC é retângulo.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.