Question

sejam os pontos A (2,-3),B(10,-1) e C (9,-2) . Calcule o perimetro do triangulo ABC

Answer 1

Dadas as coordenadas dos três vértices de um triângulo ABC

$\mathsf{A(x_A,\,y_A),\,B(x_B,\,y_B)~e~C(x_C,\,y_C),}$


o perímetro do triângulo é a soma das distâncias entre os vértices, tomados dois a dois:

$\mathsf{p=d_{AB}+d_{BC}+d_{CA}\qquad\quad(i)}$

________


Para o triângulo dado, temos

$\mathsf{A(2,\,-3),\,B(10,\,-1)~e~C(9,\,-2),}$


•   Distância de A até B:

$\mathsf{d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{(10-2)^2+(-1-(-3))^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{(10-2)^2+(-1+3)^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{(8)^2+(2)^2}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{64+4}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=\sqrt{68}}\\\\\mathsf{d_{AB}=\sqrt{2^2\cdot 17}}\\\\ \mathsf{d_{AB}=2\sqrt{17}~u.c.}$


•   Distância de B até C:

$\mathsf{d_{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{(9-10)^2+(-2-(-1))^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{(9-10)^2+(-2+1)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{1+1}}\\\\ \mathsf{d_{BC}=\sqrt{2}~u.c.}$


•   Distância de C até A:

$\mathsf{d_{CA}=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{(2-9)^2+(-3-(-2))^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{(2-9)^2+(-3+2)^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{49+1}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{50}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=\sqrt{5^2\cdot 2}}\\\\ \mathsf{d_{CA}=5\sqrt{2}~u.c.}$

_______


O perímetro do triângulo é

$\mathsf{p=d_{AB}+d_{BC}+d_{CA}}\\\\ \mathsf{p=2\sqrt{17}+\sqrt{2}+5\sqrt{2}}\\\\ \mathsf{p=2\sqrt{17}+6\sqrt{2}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}{\mathsf{p=2\cdot (\sqrt{17}+3\sqrt{2})~u.c.}}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$


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Bons estudos! :-)


Tags: perímetro triângulo distância vértices pontos geometria analítica