Question

Sejam os pontos A(2, 2), B(4, -1), C(-2,-5) e
D(-4, -2).
a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo em B.
Quanto mede sua hipotenusa?
b) Mostre que o quadrilátero ABCD é um retân-
gulo. Quanto mede sua diagonal?​

Answer 1

a) Para o triângulo ABC ser retângulo em B, os segmentos AB e CB devem ser perpendiculares no ponto B. Portanto, sabe-se que, para retas perpendiculares, considerando m a inclinação da reta, mAB = -1/mCB.

Ora, a inclinação de qualquer reta, dados 2 pontos da mesma pode ser encontrada por:

m = ∆y/∆x = (ya-yb)/(xa-xb) #a e b indicando os pontos

Portanto, para m de AB tem-se:

mAB = (2-(-1))/(2-4) = -3/2

E para mCB tem-se:

mCB = (-5-(-1))/(-2-4) = -4/-6 = 2/3

Ora, mAB = -1/mCB, portanto, o triângulo ABC é retângulo em B.

Para encontrar a medida da hipotenusa basta determinar a distância entre os pontos AC (afinal ABC é retângulo em B)

Portanto temos:

dAC = √((y2-y1)²+ (x2-x1)²)

dAC = √((-12)²+ (-4)²) = √(144+16) = √160 = 4√10

Portanto, a hipotenusa mede 4√10.

b) Para o quadrilátero ABCD ser retângulo, este deve ser retângulo nas extremidades de sua diagonal. Como sabemos que ABCD é retângulo em B, a distância de B até D representaria a diagonal que intercepta a hipotenusa de ABC e, se o ângulo de B = 90°, então o ângulo formado pelas retas AD e CD deve ser = 90° também. E, com isso, a diagonal seria formado pelo segmentos BD.

Portanto, para mAD e mCD temos:

mAD = (2-(-2))/(2-(-4)) = 4/6 = 2/3

mCD = (-5-(-2))/(-2-(-4)) = -3/2

Como mAD = -1/mCD, então ABCD também é retângulo em D.

Portanto, o quadrilátero é um retângulo.

Para a diagonal BD temos:

dBD = √((-2-(-1))²+(-4-4)²) = √(9+64) = √73

Portanto, sua diagonal mede √73.

Qualquer dúvida, só falar!