Question

Sejam os planos a1 : x + my + 2z -7 =0 e a2 : 4x +5y +3z +2=0. Podemos afirmar que os valores de m para que o angulo entre os planos seja de 30° são:

-m=9 e m=8
-m=5 e m=2
-m=1 e m=7
-m=4 e m=3
-m=0 e m=6

Answer 1

O vetor normal ao plano $a_1 : x+my+2z-7=0$ é $\bold{u} = (1,m,2)$, ao passo que o vetor normal ao plano $a_2: 4x +5y +3z +2=0$ é $\bold{v} = (4,5,3)$. O cosseno do ângulo $\alpha$ formado pelos dois planos é dado por

$\cos(\alpha) = \frac{|\bold{u} \cdot \bold{v}|}{|\bold{u}| |\bold{v}|}$

onde 

$\bold{u} \cdot \bold{v} = (1,m,2) \bullet (4,5,3) = 1(4) +m(5)+2(3) \\ =4+5m+6=10+5m$

Além disso,

$|\bold{u}| = \sqrt{1^2 + m^2 +2^2} = \sqrt{5 + m^2}$

e 

$| \bold{v} | = \sqrt{4^2 + 5^2 +3^2} = \sqrt{50}$

Como $\alpha$ = 30º, temos que $\cos{30} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Substituindo na equação anterior, temos que

$\cos{30} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10+5m}{\sqrt{5 + m^2} \times \sqrt{50}}$

Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(10+5m)^2}{(5 + m^2)(50)}$

$\frac{3}{4} = \frac{100+100m +25m^2}{250 + 50 m^2} \\ \\ 3(250 + 50m ^2) = 4(100 + 100m + 25 m^2) \\ 750 + 150 m ^2 = 400 + 400m + 100 m^2 \\ 150 m^2 - 100 m^2 - 400 m + 750 - 400 = 0 \\ 50 m^2 - 400 m + 350 = 0 \\ m^2 - 8 m + 7 = 0$

Resolvendo a equação por Bhaskara, encontramos m = 1 ou m = 7. A terceira alternativa de cima para baixo é a correta.