Question

Sejam os números complexos:
Z1= 6( cos 240° + isen 240° ), Z2= cos 30° + isen 30° e Z3= 2( cos 150° + isen 150° )
Escreva na forma trigonometrica e determine o gráfico de cada número complexo.
A) z1.z1
B)z1.z2
C)z1.z3
D)z1.z2.z3

Answer 1

Utilizando passagem de forma cartesiana para polar de números complexos, temos os seguints resultados:

a)$z_1.z_1=36.e^{i.\frac{8\pi}{3}}$.

b)$z_1.z_2=6.e^{i.\frac{3\pi}{2}}$.

c)$z_1.z_3=12.e^{i.\frac{13\pi}{6}}$.

d)$z_1.z_2.z_3=12.e^{i.\frac{7\pi}{3}}$.

Explicação passo-a-passo:

Os números complexos são dados de forma mais basica na forma cartesiana:

$z=x+yi$

Que por sua vez podem ser reescritas na forma polar, com raio e angulo:

$x=r.cos(\theta)$

$y=r.sen(\theta)$

$z=r.cos(\theta)+ir.sen(\theta)$

$z=r.(cos(\theta)+i.sen(\theta))$

E a forma polar por sua vez pode ser simplificada usando a forma trigonometrica como:

$z=r.e^{i\theta}$

Pois a exponencial complexa pode ser escrita como:

$e^{i\theta}=cos(\theta)+i.sen(\theta)$

Assim a forma trigonometrica é dada por:

$z=r.e^{i\theta}$

Com isso podemos transformar os números complexos dados:

$z_1=6.(cos(\frac{4\pi}{3})+i.sen(\frac{4\pi}{3}))=6.e^{i.\frac{4\pi}{3}}$

$z_2=(cos(\frac{\pi}{6})+i.sen(\frac{\pi}{6}))=e^{i.\frac{\pi}{6}}$

$z_3=2.(cos(\frac{5\pi}{6})+i.sen(\frac{5\pi}{6}))=2.e^{i.\frac{5\pi}{6}}$

Neste caso eu já passei os angulos para radiano, pois ninguém utiliza graus para fazer conta com angulos, então deixei em forma convencional.

Tendo a forma trigonometrica de cada número complexo, podemos facilmente fazer estes calculos:

A) z1.z1

$z_1.z_1=6.e^{i.\frac{4\pi}{3}}.6.e^{i.\frac{4\pi}{3}}=36.e^{i(\frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi}{3})}=36.e^{i.\frac{8\pi}{3}}$

B)z1.z2

$z_1.z_2=6.e^{i.\frac{4\pi}{3}}.e^{i.\frac{\pi}{6}}=6.e^{i(\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6})}=6.e^{i.\frac{3\pi}{2}}$

C)z1.z3

$z_1.z_3=6.e^{i.\frac{4\pi}{3}}.2.e^{i.\frac{5\pi}{6}}=12.e^{i(\frac{4\pi}{3}+\frac{5\pi}{6})}=12.e^{i.\frac{13\pi}{6}}$

D)z1.z2.z3

$z_1.z_2.z_3=6.e^{i.\frac{4\pi}{3}}.e^{i.\frac{\pi}{6}}.2.e^{i.\frac{5\pi}{6}}=12.e^{i(\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}})}=12.e^{i.\frac{7\pi}{3}}$