Question

Sejam os números complexos m= 1+i e n= 1-i . Calcule o valor de m^52 . n^(-51)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Igaoliver,que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) É pedido para determinar o vamor de m⁵² * n⁻⁵¹ , sabendo-se que:

m = 1 + i

e

n = 1 - i.

ii) Agora vamos tentar encontrar o valor pedido de m⁵² * n⁻⁵¹. Assim teremos:

m⁵² * n⁻⁵¹ = (1+i)⁵² * (1-i)⁻⁵¹ ---- note que poderemos reescrever o 2º memembro desta expressão da seguinte forma, o que dá no mesmo:

m⁵² * n⁻⁵¹ = [(1+i)²]²⁶ * (1-i)⁻⁵⁰ * (1-i)⁻¹ ----- ou ainda, o que dá no mesmo:

m⁵² * n⁻⁵¹ = [(1+i)²]²⁶ * [(1-i)²]⁻²⁵] * (1-i)⁻¹

Agora note isto e não esqueça mais: (1+i)² --- se você desenvolver este produto notável vai chegar a "2i"; e (1-i)²---- se você desenvolver este produto notável vai chegar a "-2i". Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

m⁵² * n⁻⁵¹ = (2i)²⁶ * (-2i)⁻²⁵ * (1-i)⁻¹ ----- veja que (-2i)⁻²⁵ = 1/(-2i)²⁵. Logo, ficaremos com:

m⁵² * n⁻⁵¹ = [(2i)²⁶*1/(-2i)²⁵] * (1-i)⁻¹ ---- ou apenas:

m⁵² * n⁻⁵¹ = [(2i)²⁶/(-2i)²⁵]*(1-i)⁻¹ ------ note que isto é equivalente a:

m⁵² * n⁻⁵¹ = [2²⁶i²⁶/-2²⁵i²⁵]*(1-i)⁻¹ --- passando o sinal de menos que está no denominador para antes da expressão, iremos ficar assim:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -[2²⁶i²⁶/2²⁵i²⁵] * (1-i)⁻¹ --- note que temos divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo, ficaremos assim:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -[2²⁶⁻²⁵i²⁶⁻²⁵]*(1-i)⁻¹ ---- desenvolvendo, teremos:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -[2¹*i¹] * (1-i)⁻¹ ---- ou apenas, o que dá no mesmo:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -2i *(1-i)⁻¹ ----- veja que (1-i)⁻¹ = 1/(1-i)¹ = 1/(1-i). Assim, ficaremos:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -2i*1/(1-i) ---- ou apenas:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -2i/(1-i) ---- note que temos uma divisão de complexos. Regra: multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Veja que o conjugado de (1-i) é (1+i). Assim, multiplicando numerador e denominador por (1+i), teremos:

m⁵² * n⁻⁵¹ = -2i*(1+i)/(1-i)*(1+i) ---- efetuando o produto indicado no numerador e no denominador, iremos ficar apenas com:

m⁵² * n⁻⁵¹ = (-2i-2i²)/(1-i²) ----- note que i² = -1. Assim, ficaremos com:

m⁵² * n⁻⁵¹ = (-2i-2*(-1))/(1-(-1)) ---- desenvolvendo, teremos:

m⁵² * n⁻⁵¹ = (-2i + 2)/(1+1) ----- ou apenas:

m⁵² * n⁻⁵¹ = (-2i + 2)/2 ----- simplificando-se cada fator por "2", iremos ficar apenas com

m⁵² * n⁻⁵¹ = -i + 1 ------ ou, o que dá no mesmo (apenas ordenando):

m⁵² * n⁻⁵¹ = 1 - i <---- Esta é a resposta. Este é o resultado a que se chega quando se simplifica todo o complexo da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.