Question

Sejam OA= u, OB = v, OC = w. Demonstre que se u ×v +v × w +w × u = 0, então A, B, C são colineares

Answer 1

Vamos definir a colinearidade.

OA=u, OB=v e OC=w.

Se A, B e C são colineares então Existe um escalares α e β tal que:

u=αv  e u=βw

Ou seja os vetores u,v e w são L.D em outras palavras, eles são paralelos.

Seja: OA=u, OB=v e OC=w.

u x v + v x w + w x u = 0. Vou mostrar que u,v ,w são colineares.

Utilizarei duas propriedades do Produto Vetorial:

1) u x v = -v x u

2) w x (u+v) = w x u + w x v

Assim:

u x v + v x w + w x u = 0

u x v - u x w + v x w =0  (prop 2))

u x (v - w) = -v x w    pela prop 1))

u x (v - w)= v x w

seja a=u x (v - w). a é ortogonal a u e a (v - w)

                b= v x w é ortogonal a v e w

Pela equacao: a=b <--> a=0 e b= 0  (vetor nulo)

Assim: u x v = 0,  --(u x w)= w x u =0  e v x w =0

Então o junto {u,v,w} é L.D pois o produto vetorial de seus elementos é ZERO.

 Logo, são colineares.