Question

Sejam MA, MB e MC três arestas de um cubo que se encontram no vértice M. O comprimento da aresta do cubo é igual a 2 cm. Calcule:
1-o volume do tetraedro MABC;
2-a área do triângulo ABC;
3-o comprimento do segmento de reta MH, sendo H o pé da perpendicular baixada de M sobre o plano que contém ABC.

Answer 1

Resposta:

1. O volume do tetraedro MABC é de  $\frac{4}{3}$ cm³.

2. A área do triângulo ABC é de $2\sqrt{3}$ cm².

3. A altura do tetraedro em relação à base ABC é de $\frac{2\sqrt{3} }{3}$ cm.

Explicação passo a passo:

1.

Volume do tetraedro -----> $V_t=\frac{1}{3} A_bh$

Seja MAB a base desse tetraedro. Esta base é um triângulo retângulo isósceles de catetos 2 cm. Assim, $A_b = \frac{2(2)}{2}$ = 2 cm².

A altura do tetraedro é a aresta MC do cubo -----> h = 2. Portanto, $V_t=\frac{1}{3} (2)(2)=\frac{4}{3}$ cm³.

2.

As arestas do triângulo ABC são as diagonais das faces do cubo ---> a = 2.√2 cm.

A área de ABC será ---> S = $a^2(\frac{\sqrt{3}}{4}) =(2\sqrt{2})^2(\frac{\sqrt{3}}{4})=2\sqrt{3}$ cm².

3.

MH é a altura do tetraedro em relação à base ABC. Ela pode ser extraída da fórmula do volume do tetraedro.

$V_t=\frac{1}{3} A_bMH$ -----> $MH=\frac{3V_t}{A_b}$

$MH=\frac{3(\frac{4}{3})}{2\sqrt{3} } =\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{3} }{3}$cm