Question

sejam funções f(x)= 6x-2,

Answer 1

Vamos achar h(f(x)):

h(x) = ( 2x - 3 ) /2

h(f(x)) = [ 2 * (6x + 2) - 3 ] / 2

h(f(x)) = ( 12x + 4 - 3 ) / 2

h(f(x)) = ( 12x + 1 ) / 2

Vamos achar f⁻¹(g(x)):

Primeiro, vamos encontrar a função inversa de f. Mesmo esquema, trocar x por y e y por x e enfim isolar y.

f(x) = y = 6x + 2

x = 6y + 2

6y = x - 2

y = ( x - 2 ) / 6

Portanto, f⁻¹(x) = ( x - 2 ) / 6

f⁻¹(g(x)) = ( 4x - 1 - 2 ) / 6

f⁻¹(g(x)) = ( 4x - 3 ) / 6

- Vamos achar h(g(f(2))):

f(x) = 6x + 2

f(2) = 6*2 + 2 = 12 + 2 = 14

f(2) = 14

g(x) = 4x - 1

g(f(2)) = g(14) = 4*14 - 1 = 56 - 1 = 55

g(f(2)) = 55

h(x) = ( 2x - 3 ) / 2

h(g(f(2))) = h(55) = ( 2*55 - 3 ) / 2 = ( 110 - 3 ) / 2

h(g(f(2))) = 107 / 2

- Vamos achar f(g⁻¹(2)):

Primeiro, vamos encontrar a função inversa de g. Mesmo esquema, trocar x por y e y por x e ao fim isolar y.

g (x) = y = 4x - 1

x = 4y - 1

4y = x + 1

y = ( x + 1 ) / 4

Logo, g⁻¹(x) = ( x + 1 ) / 4

g⁻¹(2) = ( 2 + 1 ) / 4 = 3 / 4

f(x) = 6x + 2

f(g⁻¹(2)) = f( 3 / 4 ) = 6 * ( 3 / 4 ) + 2

f(g⁻¹(2)) = 18 / 4 + 2

Como 2 = 8 / 4 vem:

f(g⁻¹(2)) = 18 / 4 + 8 / 4

f(g⁻¹(2)) = 26 / 4 = 13 / 2

f(g⁻¹(2)) = 13 / 2

Enfim, vamos calcular:

h(f(x)) + f⁻¹(g(x)) = h(g(f(2))) + f(g⁻¹(2))

Substituindo os valores que encontramos, a equação fica assim:

( 12x + 1 ) / 2 + ( 4x - 3 ) / 6 = 107 / 2 + 13 / 2

Vamos multiplicar todos os valores por 6 pra não ter que fazer m.m.c. Mas você quem sabe. Fica assim:

3 * (12x + 1 ) + (4x - 3) = 321 + 39

36x + 3 + 4x - 3 = 321 + 39

36x + 4x = 360

40x = 360

x = 360 / 40

x = 36 / 4 = 9

x = 9

Solução => S = {9}

Glória a Deus !!