Sejam f:R->R e g: R->R definida por f(x)=x²-2x-3 e g(x)=4x+m. Sabendo que f(g(-1))=12, calcule M?
Soluções para a tarefa
g(x) = 4x + m
f [ g(- 1) ] = f [ 4*( - 1 ) + m ] = f [ m - 4 ]
f ( m - 4 ) = ( m-4)² - 2*( m-4 ) - 3
f ( m - 4 ) = 12
m² - 8m + 16 - 2m + 8 - 3 = 12
m² - 10m + 9 = 0
raízes:
m = 9 ou m = 1
O valor de M para a função composta f(g(-1))=12 é igual a M= 9 ou M=1.
Resolução
Para solucionarmos o problema é necessário um conhecimento prévio acerca das funções compostas.
Uma função composta é uma função tal que:
f: A → B e g: B → C, a função composta de f com g é a função k(x) = f(g(x)).
Para calcularmos vamos primeiramente calcular da parte interna da composição (em negrito) e, posteriormente, calcular a parte externa:
f(g(-1))=12, logo:
g(1) = 4.-1+m
g(1) = -4 +m
Agora substituindo na função externa F(g(-1)).
f(g(1)) = (-4 +m)²-2(-4 +m) -3
(Aplicando a regra de produtos notáveis para o primeiro elemento e a propriedade distributiva para o segundo, temos:)
f(g(1)) = 16 -8m +m² +8 -2m -3 , sabendo que f(g(1)) = 12.
16 -8m +m² +8 -2m -3 = 12
m² -10m +24 -15 = 0
m² - 10m +9 =0
Aplicando a fórmula de bhaskara:
Δ = b² -4.a.c
Δ = (-10)² -4.9.1
Δ = 100 - 36
Δ = 64
m = -b ± √Δ
2a
m = 10 ± 8
2
m' = 18/2 e m'' = 2/2
Logo, os valores de M são as raízes dessa equação. M vale 9 ou 1.
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