Question

Sejam f, g e h, funções deriváveis tais que

f (x) = g(x^2) . h (-x)

Sabendo que

g(4) = - 4, g' (4) = 2, h(2) = -2 e h'(2)=4

Determine f'(-2)

Answer 1

Solução:

Primeiro precisamos encontrar $f'(x)$ para poder encontrar $f'(2)$, note que $f(x)$ é formada pelo produto de duas funções e perceba $g(x^2)$ esta composta com $x^2$ e $h(-x)$ está composta com $-x$, então além de usarmos a regra do produto vamos também usar a regra da cadeia, logo

$f'(x)=g'(x^2)(x^2)'\cdot h(-x)+g(x^2)\cdot h'(-x)(-x)'\\\\\\=f'(x)=g'(x^2)\cdot 2x\cdot h(-x)+g(x^2)\cdot h'(-x)(-1)\\\\\\=f'(x)=2x\cdot g'(x^2)\cdot h(-x)-g(x^2)\cdot h'(-x)$

Encontrada $f'(x)$ agora basta fazermos $x=-2$ e utilizar os dados do enunciado, portanto $f'(-2)$ será

$f'(-2)=2(-2)\cdot g'((-2)^2)\cdot h(-(-2))-g((-2)^2)\cdot h'(-(-2))\\\\\\=f'(-2)=-4\cdot \overbrace{g'(4)}^{2}\cdot \overbrace{h(2)}^{-2}-\overbrace{g(4)}^{-4}\cdot \overbrace{h'(2)}^{4}\\\\\\=f'(-2)=-4\cdot2\cdot(-2)-(-4)\cdot4\\\\\\=f'(-2)=16+16\\\\\\\boxed{\boxed{\mathbf{f'(-2)=32}}}$