Question

Sejam f e g duas funções reais, com domínio em um intervalo (a,b) e contínuas em (a,b). Se limx→x0f(x)=limx→x0g(x), para todo x0 em (a,b), então f(x)=g(x) para todo x∈(a,b).

a) verdadeiro
b) falso​

Answer 1

Resposta:

A afirmação é verdadeira.

Explicação passo a passo:

Vamos definir a função abaixo:

h(x) = f(x) - g(x)

Sabemos que o limite da diferença é igual à diferença dos limites, então para todo x0 em (a,b) temos:

lim x->x0 h(x) = lim x->x0 f(x)-g(x) = lim x->x0 f(x) - lim x->x0 g(x)

Mas é dado que lim x->x0 f(x) = lim x->x0 g(x), então:

lim x->x0 h(x) = 0

para todo x0 em (a,b). Sabemos também que a diferença de duas funções contínuas no intervalo (a,b) é contínua, então h(x) é contínua em (a,b).

Suponhamos que f(x1) <> g(x1) para algum x1 em (a,b). Calculando o limite:

lim x->x1 h(x) = lim x->x1 f(x)-g(x) = 0

Mas se a função h(x) é contínua, por definição o valor de h(x) em x1 deve ser igual ao limite de h(x) com x->x1. O limite de h(x) com x->x1 então seria diferente do valor de h(x1) que supusemos ser diferente de zero, o que é uma contradição com o fato de h(x) ser contínua. Portanto f(x1) deve ser igual a g(x1).

Concluímos que f(x) = g(x) para todo x em (a,b).