Question

Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 3x + k e g(x) = -2x + 5, sendo k uma constante real.
Determine o valor de k de modo que (fog)(x) = (gof)(x) para todo x ϵ R.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos essas duas funções:

$\begin{cases}f(x) = 3x + k \\ g(x) = - 2x + 5 \end{cases}$

A questão quer saber o valor de "k" para que f(g(x)) seja igual a gf(x)), essa notação f(g(x)) quer dizer que na função que é a principal devemos substituir no local de "x" a função que está dentro do parêntese.

Fazendo isso:

$f(g(x)) = 3x + k \\ f(g(x)) = 3.( - 2x + 5) + k \\ f(g(x)) = - 6x + 15 + k \\ \\ g(f(x)) = - 2x + 5 \\ g(f(x)) = - 2.(3x + k) + 5 \\ g(f(x)) = - 6x - 2k + 5$

Igualando os dois:

$\bigstar f(g(x)) = g(f(x)) \bigstar \\ - 6x + 15 + k = - 6x - 2k + 5 \\ \red{\cancel{- 6x + 6x}} + k + 2k = 5 - 15 \\ 3k = - 10 \\ \boxed{ k = \frac{ - 10}{3}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️