Question

Sejam F: A→R^3 e f: A→R deriváveis em A⊂R. Mostre que:
d/dx (f∙F)= df/dx∙F+f∙dF/dx

Answer 1

Sejam $\vec{F}: A \to \mathbb{R}^3$ e $f: A \to \mathbb{R}$ funções deriváveis em $A \subset \mathbb{R}$. Pretendemos mostrar que:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(f \vec{F}\right) = \dfrac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}\vec{F} + f\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}x}.$

Da definição de derivada, tem-se:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(f \vec{F}\right) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(f\vec{F})(x+h)-(f\vec{F})(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)\vec{F}(x+h)-f(x)\vec{F}(x)}{h}.$

Vamos somar e subtrair $f(x)\vec{F}(x+h)$ no numerador:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)\vec{F}(x+h)-f(x)\vec{F}(x+h)+f(x)\vec{F}(x+h)-f(x)\vec{F}(x)}{h}.$

Colocamos agora $\vec{F}(x+h)$ e $f(x)$ em evidência:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[f(x+h)-f(x)\right]\vec{F}(x+h)+f(x)\left[\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)\right]}{h}.$

Podemos agora separar os limites:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \times \lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x+h)+\lim\limits_{h \to 0} f(x) \times \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h}.$

Reconhecemos agora que:

$\dfrac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad\textrm{e}\quad \dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}x} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h}.$

Além disso, como $\vec{F}$ é derivável, é necessariamente contínua (ver nota no final), pelo que:

$\lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x+h) = \vec{F}(x).$

Por fim, $f(x)$ não depende de $h$, donde:

$\lim\limits_{h \to 0} f(x) = f(x).$

Mais concretamente, podemos escrever:

$\underbrace{\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{=\dfrac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}} \times \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x+h)}_{\displaystyle=\vec{F}(x)}+\underbrace{\lim\limits_{h \to 0} f(x)}_{\displaystyle=f(x)} \times \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h}}_{=\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}x}}.$

Obtemos então por fim a expressão desejada:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(f \vec{F}\right) = \dfrac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}\vec{F} + f\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}x}.$

Nota: uma função é derivável em $A\subset\mathbb{R}$ se e só se existir o seguinte limite para todo o $x \in A$:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h}.$

Uma função é contínua em $A\subset\mathbb{R}$ se e só se, para todo o $x \in A$, se verificar:

$\lim\limits_{t \to x} \vec{F}(t) = \vec{F}(x).$

De forma equivalente, fazendo $h = t - x \iff t = x + h$, temos que $h \to 0$ quando $t \to x$, pelo que a condição anterior pode ser escrita na forma:

$\lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x+h) = \vec{F}(x).$

Como o lado direito não depende de $h$, podemos ainda fazer:

$\lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x+h) = \lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x) \iff \lim\limits_{h \to 0} \left[\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)\right] = \vec{0}.$

Vamos então mostrar esta última igualdade partindo do lado esquerdo. Para $h \neq 0$, podemos multiplicar e dividir por $h$:

$\lim\limits_{h \to 0} \vec{F}(x) \iff \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h} \times h.$

Uma vez que supusemos a função $\vec{F}$ derivável, sabemos que existe o limite:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h},$

pelo que:

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h} \times h = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\vec{F}(x+h)-\vec{F}(x)}{h} \times \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} h}_{= 0} = \vec{0},$

pelo que fica assegurada a continuidade da função $\vec{F}$ em $A$.