Question

Sejam D a distancia de um ponto (x, y) à reta x = 4 e d a distancia do mesmo ponto a (2, 0).
a Escreva uma equação descrevendo os pontos (x, y) para os quais d/D=1/2
b Descreva o lugar geométrico dos pontos (x, y) que satisfazem o item a.

Answer 1

Olá,

A)

Distância Ponto a outro ponto:

$d=\sqrt{(x-x0){2}+(y-y0)^{2}}$

Logo substituindo os dados:

$d=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}}\\\\  d=\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}}$

Distância ponto reta:

$D=\frac{|ax+by+c|} {\sqrt{a^{2}+b^{2}} }$

Logo substituindo os dados:

$reta:\\ y=4\\y-4=0 \\ \\ D=\frac{|0.x+1.y-4|} {\sqrt{0^{2}+1^{2}} } = y-4$

Temos que:

$1/2=d/D=\frac{\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}}}{ y-4} \\ \\ y-4=2.\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}}\\ \\ y^{2}-8y+16=4x^{2}-16x+16+4y^{2}\\ \\ 4x^{2}-16x+3y^{2}+8y=0$

B)

Analisando a função, temos que está expressão ( 4x^{2}-16x+3y^{2}+8y=0 ), forma uma elipse, onde todos os pertencentes a ela, satisfazem o item ''a''.

Não tenho certeza se resolvi da maneira correta seu problema, porém mesmo assim espero ter ajudado.