Matemática, perguntado por vdninhaus, 3 meses atrás

sejam as retas r= ax+2y-3=0 e s=2x-8y=0 qual o valor de a para serem retas paralelas e para serem retas perpenticulares

Soluções para a tarefa

Respondido por lordCzarnian9635

O valor de a para:

serem retas paralelas, é a = – 1/2;
serem retas perpendiculares entre si, é a = 8.

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Considerações pré-resolução:

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As posições relativas entre duas retas envolvidas nessa questão são as:

paralelas e distintas: ocorre quando duas retas não possuem pontos de intersecção em comum (reta₁ $\cap$ reta₂ = ∅);
perpendiculares: ocorre quando duas retas concorrentes, que possuem um único ponto de intersecção em comum, formam um ângulo de 90° (reta₁ $\perp$ reta₂).

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Resolução

(r) ax + 2y – 3 = 0 e (s) 2x – 8y = 0 $\Leftrightarrow$ (s) 2x – 8y + 0 = 0.

Obs.: considerei as equações das retas na forma ax + by + c = 0 (geral).

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Determinar ‘‘a’’ de modo que r $\cap$ s = ∅.

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Nas eqs. gerais de duas retas, seja a razão dos coeficientes ‘‘a’’ igual a razão dos coeficientes ‘‘b’’ e diferente da razão dos coeficientes ‘‘c’’ uma relação que deve ser satisfeita, as retas serão paralelas e distintas. Contudo, observe que montando essa relação encontra-se:

$\tt\dfrac{a}{2}=\dfrac{2}{\!\!\!\!\!-\,8}\neq\dfrac{3}{0}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2}=-\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{3}{0}$

Pode até ser verdade, mas 3/0 é uma indefinição e penso que fere o rigor matemático. Portanto, para garantir que os coeficientes nos denominadores sejam reais não nulos, faça a razão dos coeficientes de s para os de r, nesta ordem:

$\tt\dfrac{2}{a}=-\dfrac{4}{1}\neq\dfrac{0}{3}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a}=-\,4\neq0$

Para evitar possíveis limitações na manipulação algébrica, vamos primeiro analisar o caso a = 0 na reta r:

0x + 2y – 3 = 0 $\Leftrightarrow$ 2y – 3 = 0. Por (r) tornar-se uma reta horizontal, e por (s) 2x – 8y = 0 certamente ser uma reta não horizontal, elas terão um único ponto em comum quando a = 0, sendo, então, retas concorrentes. Partindo disso nós já provamos no contexto do excercício que a ≠ 0 (negação de a = 0), pois queremos retas paralelas e não concorrentes. Sendo assim, segue que:

$\tt\dfrac{2}{a}=-\,4\neq0$

$\tt a=-\dfrac{2}{4}\neq0$

$\tt a=-\dfrac{1}{2}\neq0$

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Como pode-se ver, a relação é satisfeita para a = – 1/2. Logo, r é paralela à s se o coeficiente ‘‘a’’ de r for igual a – 1/2.

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Determinar ‘‘a’’ de modo que r $\perp$ s.

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Nas eqs. gerais de duas retas, sendo a soma do produto entre os coeficientes ‘‘a’’ e ‘‘b’’ igual a zero uma relação que deve ser satisfeita, as retas serão perpendiculares entre si. Observe:

$\tt a\cdot2 + 2\cdot(-\,8)=0$