Question

Sejam as retas concorrentes r e s representadas pelas equações cartesianas r: y – 2x = 4 e s: x + ky = 6, em que k é um número real. Para que essas retas se intersectem em um ponto de coordenadas cartesianas (m, n) com m > 0 e n > 0, os possíveis valores para k são tais que

A) – 1< k < 3
B) k > – 1/2
C) k < 3/2
D) –1/2 < k < 3/2

Answer 1

Oi Lucas.

Dada as retas vamos montar um sisteminha e isolar umas das incógnitas.

$y-2x=4\\ x+ky=6\quad (*2)$

Multiplicando a segunda equação por 2 para que o x se cancele teremos:

$y-2x=4\\ 2x+2ky=12\\ 2ky+y=16\\ y(2k+1)=16\\ y=\frac { 16 }{ 2k+1 }$

Agora vamos substituir esse y na outra equação:

$y-2x=4\\ \frac { 16 }{ 2k+1 } -2x=4\\ \\ 2x=\frac { 16 }{ 2k+1 } -4$

Esse 2 passa multiplicando a fração em baixo e dividindo o  -4.

$x=\frac { 16 }{ 4k+2 } -2$

Dividindo a fração por 2:

$x=\frac { 8 }{ 2k+1 } -2$

O exercício fala que:

$m>0\quad e\quad n>0$

Então é só resolver as inequações.

$(\frac { 8 }{ 2k+1 } -2,\frac { 16 }{ 2k+1 } )\\ \\ \\ \frac { 8 }{ 2k+1 } -2>0\\ \\ \frac { 8 }{ 2k+1 } >2\\ \\ 8>2(2k+1)\\ \frac { 8 }{ 2 } >2k+1\\ \\ 4>2k+1\\ -2k-1>-4\quad (-1)\\ 2k+1<4\\ 2k<4-1\\ 2k<3\\ k<\frac { 3 }{ 2 }$

Agora resolvendo a outra acharemos:

$\frac { 16 }{ 2k+1 } >0\\ \\ 2k+1>\frac { 0 }{ 16 } \\ \\ 2k+1>0\\ 2k>-1\\ k>-\frac { 1 }{ 2 }$


R:D