Question

Sejam as matrizes A e I. Representando genericamente o determinante da matriz X por det (X), podemos dizer que os valores de t, satisfazem a igualdade det (tI - A) = 0 são?

matriz A =
|2   1|
|3   4|

matriz I =
|1   0|
|0   1|

Answer 1

Temos as seguintes matrizes:

$\mathbf{A}=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 3 & 4 \end{array} \right]$

$\mathbf{I}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right]$

Queremos encontrar valores reais para $t$ de modo que

$\det \left(t\mathbf{I} \right - \mathbf{A})=0$

Primeiramente, vamos encontrar a matriz $t\mathbf{I} \right - \mathbf{A}$:

$t \mathbf{I} - \mathbf{A}=t \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right]- \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 3 & 4 \end{array} \right]\\ \\ \\ =\left[ \begin{array}{cc} t & 0\\ 0 & t \end{array} \right]- \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 3 & 4 \end{array} \right]\\ \\ \\ =\left[ \begin{array}{cc} t-2 & 0-1\\ 0-3 & t-4 \end{array} \right]\\ \\ \\ =\left[ \begin{array}{cc} t-2 & -1\\ -3 & t-4 \end{array} \right]$


Calculando o determinante da matriz $t\mathbf{I} - \mathbf{A}$ e igualando a $0 \text{ (zero)}$:

$\det \left(t \mathbf{I} - \mathbf{A} \right)=0\\ \\ \det \left[ \begin{array}{cc} t-2 & -1\\ -3 & t-4 \end{array} \right]=0\\ \\ \\ \left(t-2 \right )\left(t-4 \right )-\left(-3 \right )\cdot\left(-1 \right )=0\\ \\ t^{2}-4t-2t+8-3=0\\ \\ t^{2}-6t+5=0\\ \\ t^{2}-t-5t+5=0\\ \\ t\left(t-1 \right )-5\left(t-1 \right )=0\\ \\ \left(t-5 \right )\left(t-1 \right )=0\\ \\ \left\{ \begin{array}{ll} t-5=0 & \text{ou}\\ t-1 =0 & \end{array}\\ \\ \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} t=5 & \text{ou}\\ t =1 & \end{array}\\ \\ \right.$

Logo os valores de $t$ que satisfazem a igualdade $\det \left(t \mathbf{I} - \mathbf{A} \right)=0$ são $t=1$ ou $t=5$.