Question

Sejam as matrizes
A= -1 0 1
0 2 -2
e
B= 2 -1
1 2
0 1

o

determinante da matriz A . B é:
a) 64
b) 8
c) 0
d) -8
e) -64

Answer 1

Antes de calcular o determinante, é necessário calcular o produto AB,  como a própria questão indica.
Como você deve se lembrar, só existe produto entre duas matrizes, sendo elas A e B, por exemplo, se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. Antes de qualquer coisa, vamos analisar essas duas matrizes - olha que eu já sei que é possível produto entre AB, pois do contrário a questão não colocaria para antes calcular, mas quando digo "análise", refiro-me ao ato de "prever" como será a matriz AB.

$A= \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&-2\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \\ B= \left[\begin{array}{cc}2&-1&1&2\\0&1\\\end{array}\right]$

Observe que a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, já a matriz B tem 3 linhas e 2 colunas. E como eu disse, só será possível produto entre duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. E nesse caso, tenho que a matriz A possui 3 colunas e a matriz B possui 3 linhas, logo, sei que a matriz é completamente possível. E agora, tenho de saber:
MATRIZ A             MATRIZ B
2X3                        3X2

Saiba que a matriz que será o resultado da multiplicação de A vezes B, será do tipo 2x2 - observe que eu pus em negrito logo acima. Ou seja, a matriz AB terá 2 linhas e 2 colunas.

Sabendo disso, vamos ao cálculo para achar a matriz AB:

$A= \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&-2\\\end{array}\right] \\ \\ \\ B= \left[\begin{array}{cc}2&-1&1&2\\0&1\\\end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&-2\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}2&-1&1&2\\0&1\\\end{array}\right]= \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cc}-1*2+0*1+1*0&-1*(-1)+0*2+1*1\\0*2+2*1+(-2)*0&0(-1)+2*2+(-2)*1\\\end{array}\right] = \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cc}-2+0+0&1+0+1\\0+2+0&0+4-2\\\end{array}\right] =$

$\left[\begin{array}{cc}-2&2\\2&2\\\end{array}\right]$

Agora que foi encontrado o produto AB, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para tanto, é importante saber:
O determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Saiba que os elementos da diagonal principal da matriz AB são: -2 e 2, e os da secundária são 2 e 2. Sendo assim, farei:

$det A*B=\left[\begin{array}{cc}-2&2\\2&2\\\end{array}\right]= -2*2-2*2=-4-4=-8$

Com isso, sei que o determinante da matriz AB é -8, logo, a resposta é a letra "d"