Question

Sejam as equações trigonométricas:

sen² x = 1
2 sen² x + sen x – 1 = 0

Na primeira volta do ciclo, a soma das soluções distintas das equações é
A- π

B- 2π

C- 3π

D- 4π

E- 5π

Answer 1

a)

${ \sin}^{2} x = 1 \\ \sin(x) = ± \sqrt{1} \\ \sin(x) = ±1$

$\sin(x) = 1 \\ x = \frac{\pi}{2} \\ \sin(x) = - 1 \\ x = \frac{3\pi}{2}$

$2. { \sin }^{2}x + \sin(x) - 1 = 0 \\ faça \sin(x) = y \\ \: com \: - 1\leqslant y \leqslant 1$

$2 {y}^{2} + y - 1 = 0 \\ \Delta = {b}^{2} - 4ac \\ \Delta = {1}^{2} - 4.2.( - 1) \\ \Delta = 1 + 8 \\ \Delta = 9$

$y = \frac{ - b± \sqrt{\Delta} }{2a} \\ y = \frac{ - 1± \sqrt{9} }{2.2} \\ y = \frac{ - 1±3}{4}$

$y' = \frac{ - 1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ y'' = \frac{ - 1 - 3}{4} = - \frac{4}{4} = - 1$

$\sin(x) = y \\ \sin(x) = \frac{1}{2} \\ x = \frac{\pi}{6} \: ou \: \frac{5\pi}{6}$

$\sin(x) = - 1 \\ x = \frac{3\pi}{2}$

A soma das soluções distintas é

$\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} \\ \frac{3\pi + 9\pi + \pi + 5\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} = 3\pi$

Alternativa c