Question

Sejam as equações das retas:
a) Calcule o ângulo entre as retas.
b) Encontre a equação cartesiana do plano π que contém as retas r e s e passa pelo ponto A(1, –1, 2).

Answer 1

Temos as seguintes retas:

$r : \left\{ \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{ - 2}; \: z = 0 \right\} \: \: e \: \: s : \begin{cases}x = y - 2 \\ z = - 2y + 5 \end{cases}$

A partir dessas retas, a questão faz as seguintes perguntas relacionadas as mesmas:

• a) Calcule o ângulo entre as retas.

Para calcular o ângulo entre as retas, basta pegarmos o vetor diretor dessas retas e calcular o ângulo entre eles. Notavelmente vemos que o vetor diretor da reta "r" é dado por:

$r : \vec{V(D)} = (2,-2,0)$

Agora para encontrar o vetor diretor da reta "s", devemos observar que o "y" é como se fosse o parâmetro dessa reta, ou seja, podemos dizer que y = t, sendo "t" o parâmetro, então:

$\: \: \: \: \: \boxed{ y = t} \\ s : \begin{cases}x =t - 2 \\ y = t \\ z = - 2t + 5 \end{cases}$

Já que o vetor diretor é representado pelo coeficiente dos termos "t" de cada variável, temos então que s: V(D) é dado por:

$s: \vec{ V(D)} = (1,1,-2)$

Vamos então agora calcular o ângulo entre esses dois vetores, para isso usaremos a fórmula:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \cos( \alpha ) = \frac{ \vec{v}. \vec{u}}{ | |v| | . | |u| | } }$

Substituindo os dados na fórmula:

$\cos( \alpha ) = \frac{(2,-2,0) \: \cdot \: (1,1,-2)}{ | |(2,-2,0) | | . | |(1,1,-2)| | } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \cos( \alpha ) = \frac{2 - 2 + 0}{ \sqrt{2 {}^{2} + ( - 2) {}^{2} + 0 {}^{2}} . \sqrt{1 {}^{2} + 1 {}^{2} + ( - 2) {}^{2} } } \\ \\ \cos( \alpha ) = \frac{0}{ \sqrt{8} . \sqrt{5} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\cos( \alpha ) = 0 \: \: ou \: \: 90 {}^{ \circ}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• b) Encontre a equação cartesiana do plano π que contém as retas r e s e passa pelo ponto A(1, –1, 2).

Para encontrar a equação do plano que contenha as retas "r" e "s", basta encontrar um vetor seja perpendicular aos vetores diretores das retas, tal vetor perpendicular será o vetor normal do plano. Calculando o produto vetorial:

$\begin{bmatrix}i&j&k \\ 2& - 2&0 \\ 1&1& - 2\end{bmatrix} = 4i + 4j + 4k$

Ou seja, esse é vetor normal do plano. Utilizando esse vetor e o ponto informado pela questão, temos que a equação do plano é:

$a{x} +b{y} + c{z} + d = 0 \\ 4x + 4y + 4z + 4.(1) + 4.( - 1) + 4.(2) = 0 \\ \boxed{4x + 4y + 4z + 8 = 0}$

Espero ter ajudado