Sejam ABC um triângulo equilátero, P o ponto do lado AC de ABC tal que AC= 8 x AP , Q o ponto do lado AB de ABC tal que PQ seja paralelo a BC e R o ponto do lado BC de ABC tal que QR seja paralelo a AC . A razão = (PQR)/(ABC), onde F denota a área da figura plana F , é igual a :
(A)1/3
(B)6/7
(C)8/75
(D)7/64
(E)5/34
Soluções para a tarefa
A razão = (PQR)/(ABC) é 7/64.
A situação do enunciado está ilustrada na figura (ignore as dimensões dos triângulos). Como pode-se observar:
- O triângulo ABC é equilátero de lado x;
- O segmento AP é igual a x/8, logo, o triângulo APQ é equilátero de lado x/8;
- Consequentemente, o triângulo QBR é equilátero de lado 7x/8;
- Os segmentos PQ e CR são iguais, assim como CP e QR, portanto, os triângulos CPR e PQR são congruentes;
A área do triângulo PQR é igual a metade da área do quadrilátero CPQR, que pode ser calculada através da subtração das áreas de QBR e APQ da área de ABC. A área de um triângulo equilátero é:
A = (L².√3)/4
A área de ABC é:
A(ABC) = (x².√3)/4
A área de APQ é:
A(APQ) = ((x/8)².√3/4)
A(APQ) = (x².√3)/256
A área de QBR é:
A(QBR) = ((7x/8)².√3)/4
A(QBR) = 49.(x².√3)/256
A área do quadrilátero CPQR é:
A(CPQR) = A(ABC) - A(APQ) - A(QBR)
A(CPQR) = (x².√3)/4 - (x².√3)/256 - 49(x².√3)/256
A(CPQR) = (x².√3)/4 - 50.(x².√3)/256
A(CPQR) = 64.(x².√3)/256 - 50.(x².√3)/256
A(CPQR) = 14(x².√3)/256
Finalmente, a área de PQR é:
A(PQR) = [14(x².√3)/256]/2
A(PQR) = 7(x².√3)/256
A razão PQR/ABC é:
PQR/ABC = [7(x².√3)/256]/(x².√3)/4
PQR/ABC = 7/64
Resposta: D
