Question

Sejam a1, . . . , an ∈ R e S = {(x1, . . . , xn) ∈ R
n
; a1x1 + . . . + anxn = 0}. Mostre
que S ´e um subespa¸co vetorial de R
n
Alguém poder fazer resolução dessa questão por favor

Answer 1

Chamamos W um subespaço vetorial de V, se W satisfaz

$i) \, W \subset V$

$ii)\, 0_V \in W$

$iii) \,W \hspace{0.1cm} e\´ \hspace{0.1cm} espa\c{c}o \hspace{0.1cm} vetorial$

Seja V o espaço vetorial dos vetores com n entradas, $\mathbb{R}^n$ e W o conjunto

$S = \{\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \, : \, a_1x_1+\dots+a_nx_n = 0\}$

A primeira preposição é fácil de se provar, já que S é definido sobre o conjunto $\mathbb{R}^n$. A segunda preposição é facilmente obtida,  já que

$0_V = (0, \dots, 0) \implies a_1*0+\dots+a_n*0 = 0 \implies 0_V \in S$

Por último, temos que provar que S é espaço vetorial, para isso temos de provar que a soma é fechada, ou seja, dados u e v em S e λ nos reais tais que

$u = (u_1, \dots, u_n)\\v = (v_1, \dots, v_n)$

$u+\lambda v = (u_1, \dots, u_n)+ \lambda (v_1, \dots, v_n) = (u_1+\lambda v_1, \dots, u_n+\lambda v_n)$

Verificaremos se u + λv ainda nos leva para S,

$a_1(u_1+\lambda v_1) + \dots + a_n (u_n+\lambda v_n) = a_1u_1+\dots +a_nu_n +\lambda(a_1v_1+\dots+a_nv_n)$

$= 0 + \lambda 0 = 0$

Assim, u + λv pertence à S, e S é espaço vetorial.

Pelas três preposições, temos que S é subespaço vetorial de $\mathbb{R}^n$.