Question

Sejam A={x  €(pertence ao conjunto)  Z(inteiros) : 0 <= x <= 5} e  R a relação definida da seguinte maneira:

         xRy <=> Existe k €(pertence ao conjunto) Z(inteiro) : x-y = 4k

 

Mostre que R é uma relação de equivalencia e determine o conjunto quociente A/R

 

 Precisando de ajuda nessas questoes que estão em anexo, não estou entendendo muita coisa! Obrigado quem poder responder e me mandar! Grato!

Answer 1

Olá, César.

 

R será uma relação de equivalência se satisfizer as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

 

 

(i) Reflexividade:

 

$<var>xRx\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}\mid x-x=4k \\\\ \mathrm{Como}\ k=0\ \mathrm{satisfaz}\ x-x=0=4k,\ \mathrm{temos\ que\ R\ \'e\ reflexiva.}</var>$

 

 

(ii) Simetria:

 

$<var>\mathrm{Devemos\ mostrar\ que\ }xRy\Rightarrow yRx,\ \mathrm{ou\ seja, }\\\\ \mathrm{que\ se\ }xRy\Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}\mid y-x=4k \\\\ \mathrm{Veja\ que:}\ y-x=-(x-y)\\\\ \mathrm{Por\ hip\'otese,\ }xRy\Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}\mid x-y=4k\Rightarrow -(x-y)=-4k\Rightarrow \\\\ y-x=-4k\Rightarrow \exists k'=-k\in \mathbb{Z}\mid y-x=4k' \Rightarrow yRx</var>$

 

 

(iii) Transitividade:

 

$<var>\mathrm{Devemos\ mostrar\ que\ }xRy\ \mathrm{e}\ yRz\Rightarrow xRz,\ \mathrm{ou\ seja, }\\\\ \mathrm{que\ se\ }xRy\ \mathrm{e}\ yRz\Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}\mid x-z=4k \\\\ \mathrm{Veja\ que:}\ x-z=x-y+y-z=(x-y)+(y-z)\\\\ \mathrm{Por\ hip\'otese,\ }xRy\ \mathrm{e}\ yRz\Rightarrow \exists k,k'\in \mathbb{Z}\mid x-y=4k\ \mathrm{e}\ y-z=4k'\\\\ \Rightarrow (x-y)+(y-z)=4k+4k'=4(k+k')\Rightarrow \\\\ \exists k''=4(k+k')\in \mathbb{Z}\mid (x-y)+(y-z)=x-z=4k''\ \Rightarrow xRz</var>$

 

Como R satisfaz as três propriedades acima, podemos afirmar que R é uma relação de equivalência.

 

 

 

Seja R a relação de equivalência sobre o conjunto A.

Dado y $\in$ A, chama-se classe de equivalência determinada por y módulo R, o subconjunto de A constituído pelos elementos x tais que xRy.

O conjunto de todas as classes de equivalência módulo R, indicado por A/R, é chamado de conjunto quociente de A por R.

 

$<var>xRy\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}\mid x-y=4k$

 

$<var>A=\{0,1,2,3,4,5\}\\\\ \mathrm{Classe\ de\ equival\^encia\ 0\ m\'odulo\ R:}\ xR0=\{0,4\}\\ \mathrm{Classe\ de\ equival\^encia\ 1\ m\'odulo\ R:}\ xR1=\{1,5\}\\ \mathrm{Classe\ de\ equival\^encia\ 2\ m\'odulo\ R:}\ xR2=\o\\ \mathrm{Classe\ de\ equival\^encia\ 3\ m\'odulo\ R:}\ xR3=\o\\ \mathrm{Classe\ de\ equival\^encia\ 4\ m\'odulo\ R:}\ xR4=\{4,0\}\\ \mathrm{Classe\ de\ equival\^encia\ 5\ m\'odulo\ R:}\ xR5=\{5,1\}</var>$

 

Portanto, o conjunto-quociente A/R é: $<var>\{\{0,4\},\{1,5\}\}</var>$