Question

Sejam a∈R e (x_n ) uma sequência tal que lim⁡x_n =b∈R. Mostre que a sequência y_n=ax_n converge para ab.

Answer 1

tilizando propriedades de limites em sequências, temos que :

$lim_{n \rightarrow \infty} a.x_n = ab$

Explicação passo-a-passo:

Então nos foi dada a seguinte realidade sobre a sequência em questão:

$lim_{n \rightarrow \infty} x_n = b$

E nos foi perguntado quanto vale:

$lim_{n \rightarrow \infty} a.x_n$

Assim vamos partir do limite acima e utilizar o teorema de multiplicação de limites, onde o limite da multiplicação é igual a multiplicação de limites:

$lim_{n \rightarrow \infty} (a.x_n)$

$lim_{n \rightarrow \infty} (a) . lim_{n \rightarrow \infty}x_n$

Agora basta fazermos estes dois limites separadamente, e já sabemos o segundo, pois nos foi dada:

$lim_{n \rightarrow \infty} (a) . b$

E o primeiro limite é limite de uma constante, ou seja, ela nunca se modifica, logo, ela sempre vale "a", então:

$lim_{n \rightarrow \infty} (a) . b$

$a . b$

Assim temos que:

$lim_{n \rightarrow \infty} a.x_n = ab$