Question

Sejam a, b e c números inteiros tais que ax² + bx + c é divisível por 5, para todo número inteiro x. Prove que a, b e c são divisíveis por 5.

Answer 1

Para provar que os coeficientes a, b e c são divisíveis por 5 quando toda equação do segundo grau é, começamos então dividindo a função:

(ax² + bx + c) ÷ 5

Agora, vamos fazer essa divisão separadamente em cada termo:

(ax²)÷5 + (bx)÷5 + c÷5

Dessa forma, já podemos concluir que o coeficiente c é divisível por 5. Para os outros termos, temos a variável x, que como o próprio nome diz, é um valor que pode assumir qualquer resultado. Então, para que cada termo seja divisível por 5, obrigatoriamente o coeficiente deve ser divisível por esse valor. Logo, os coeficientes a e b também são divisíveis por 5.

Portanto, podemos escrever a função do seguinte modo:

(a÷5) × x² + (b÷5) × x + c÷5