Question

Sejam A,B e C conjuntos, prove que:

A união (B interseção com C)=(A união B) intersecção (A união C)

Answer 1

Bom dia Darim!

Darin! Essa demonstração é bem abstrata e um pouco longa,e é uma materia relacionada a analise matematica.

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$

Vamos provar primeiro que:

$A\cup(B\cap C)\subset (A\cup B)\cap(A\cup C)$

$Dados~X\in A \cup(B\cap C)$

$Tem-se~~ x \in A~ou, ent\~ao ~~x \in B \cap C.$

No primeiro caso.

$x \in A\cup B~~ e~~ x \in A\cap C~~Logo~~x \in (A\cup B) \cap (A\cup C)$

Nosegundo caso.

$x\in B~~e~~x\in C~~Se~~x\in B~~logo~~x\in A\cup B~~ e~de ~x\in C$

$Conclui-se~~ x\in A\cup C$

$Ent\~ao~x\in A\cup B~e~x\in A\cup B,isto~\`e, x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$

Em qualquer das hipoteses,

$x\in A\cup(B\cap C)\Rightarrow x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$

Isso nos informa que.

$A\cup(B\cap C)\subset(A\cupB)\cap(A\cup C)$

Agora mostraremos que

$(A\cup B)\cap(A\cup C)\subset A\cup(B\cap C)$

Para isto,seja

$x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)$

$Ent\~ao~~x\subset A\cup B~e~x\inA\cup C$

Nesta situação existem duas possibilidades.

$ou~x\in A~ou~ x\not\in A$

$Se~x\not\in A ,ent\~ao~como(x\in A\cup B~e~x\in A\cupC)$

Deve ser 

$x\in B~e~x\in C,isto~ e,x\in B\cap C~~portanto~,x\in A\cup(B\cap C)$

$Se~x\in A~evidentemente~x\in A\cup(B\capC).$

Em qualquer das hipoteses

$x\in(A\cup B)\cap(A\cupC)\Rightarrow~x\inA\cup(B\cup C)$

Ou seja.

$(A\cup B)\cap(A\cup C)\subset A\cup(A\cap C)$

Esta  demonstrado

Bom dia!
Bons estudos!