Question

Sejam a, b, c e d números reais distintos tais que a e b são as raízes da equação x²-3cx-8d=0; c e d são as raízes da equação x²-3ax-8b=0. Qual é o maior valor possível para a soma a+b+c+d?

Answer 1

Boa tarde

Usando a relação   x² -SX +P = 0  :

em  x² -3cx-8d=0  temos a+b= 3c

em  x² -3ax-8b=0  temos  c+d=3a

Somando vem a+b+c+d =3c+3a ⇒ a+b+c+d = 3(a+c)    [ I ]

Podemos também  observar que  b=3c-a   e  d= 3a - c  logo

d-b= (3a-c) - (3c-a) =4a-4c ⇒ d - b =4(a -c)      [ II ]

Lembrando que a raiz tem que satisfazer a equação.

Se   a   é raiz de  x²-3cx-8d=0 então  a² -3ca -8d=0       [ III  ]

Se   c   é raiz de  x² -3ax-8b=0 então  c² -3ca-8b=0       [ IV ]

Subtraindo    [ III ] - [ IV ]

(a² - 3ca -8d ) - ( c² -3ca -8b )=a²-c²-8d+8b=0 ⇒ a² - c² = 8d-8b ⇒

(a+c)*(a-c)=8 (d-b)  de  [ II  ] temos  (a+c)*(a-c)= 8*4(a-c) simplificando 

a+c=32   [  V  ]

Levando  [  V  ] em  [  1  ]

a+b+c+d = 3*32⇒  a+b+c+d = 96