Question

sejam a,b,c,d e R.suponha que a,b,c,d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a,b/2,c/4,d-140 formem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então o valor de d-b

Answer 1

Vamos usar os conceitos de progressão aritmética e geométrica.
Neste exercício, a progressão a, b/2, c/4, d-140 é aritmética.

Se (a,b,c,d) é uma PG, temos que a razão é dada por:
$q = \frac{c}{b} = \frac{b}{a} \\ \\ ac = b^2$

Na PA, a razão é dada por:
$r = \frac{c}{4} - \frac{b}{2} = \frac{b}{2} - a \\ \\ a+ \frac{c}{4} = 2 \frac{b}{2} =b$

Montando o sistema:
$\left \{ {ac=b^2} \atop {a+ \frac{c}{4}= b}} \right.$

Multiplicando as duas equações por 4:
$\left \{ {4ac=4b^2} \atop {4a+c= 4b}} \right.$

Resolvendo:
$4a = 4b-c \\ (4b-c)c = 4b^2 \\ 4bc - c^2 = 4b^2 \\ c^2 - 4bc +4b^2 = 0$

É uma equação do 2º grau em c. Resolvendo por Bhaskara, temos que c = 2b. Então a = b/2.
A razão da PG é igual a 2:
$PG =( \frac{b}{2},b,2b,4b )$

A razão da PA é igual a 0, então:
$PA = ( \frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{b}{2})$

Temos o sistema:
$\left \{ {{4b=d} \atop {d-140= \frac{b}{2} }} \right.$

$4b - 140 = \frac{b}{2} \\ \\ 8b - 280 = b \\ 7b = 280 \\ b=40 \\ d=160$

d - b = 160 - 40 = 120