Question

Sejam A( -1, -3), B( 3, 5) e C( 4, k) pontos do plano. Determine o valor de k para que os pontos sejam colineares:
alternativas seguem no anexo

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Para que os pontos sejam colineares, eles devem pertencer a mesma reta.

O cálculo para saber se são colineares ou não, dá-se através de um DETERMINANTE com os valores das abscissas e ordenadas dos pontos fornecidos pela questão. Esse DETERMINANTE deve resultar em 0.

Sabendo que vamos usar os valores das abscissas e ordenadas, vamos organizar esses valores.

$\begin{cases}A( -1, -3) \rightarrow xa = - 1 \: \: \: ya = - 3 \\ B( 3, 5) \rightarrow xb = 3 \: \: \: \: yb = 5\\ C( 4, k) \rightarrow xc = 4 \: \: \: \: yc = k \end{cases}$

A estrutura do DETERMINANTE é:

$\large\begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1 \end{bmatrix}$

Substituindo os dados e resolvendo:

$\begin{bmatrix} - 1& - 3&1 \\ 3&5&1 \\ 4&k&1\: \: \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} - 1& - 3 \\ 3&5 \\ 4&k \end{bmatrix} \\ \\ ( - 1).5.1 + ( - 3).1.4 + 1.3.k - (4.5.1 + k.1.( - 1) + 1.3.( - 3)) = 0 \\ \\ - 5 - 12 + 3k - (4 - k - 9) = 0 \\ \\ - 17 + 3k - 4 + k + 9 = 0 \\ \\ 4k = 12 \\ \\ k = \frac{12}{4} \\ \\ \boxed{k = 3}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️